2.5.2 椭圆的几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 2.5.2　椭圆的几何性质 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 x轴和y轴 (0，0) [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 2a 2b 2c 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(十九) 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]椭圆的几何性质． 知识点　椭圆的简单几何性质 标准方程 _______________ _____________________ 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 对称性 对称轴_________，对称中心_________ 范围 x∈_________，y∈_________ x∈_________，y∈_________ F1(0，－c)，F2(0，c) eq \f(c,a) 顶点 __________________ ___________________ ____________________________________________________ 轴长 长轴长|A1A2|＝_______ 短轴长|B1B2|＝_________ 焦点 __________________ _____________________ 焦距 |F1F2|＝_________ 离心率 e＝_________(0<e<1) A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) F1(－c，0)，F2(c，0) eq \a\vs4\al(特别提醒) 1.椭圆的特征三角形 a是椭圆的半长轴长，b是椭圆的半短轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图，a，b，c恰好构成一个直角三角形．这个三角形就是椭圆的特征三角形，直观地显示出a，b，c三者之间的关系．由此可得“已知椭圆的四个顶点作其焦点”的方法：以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． 2．准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程度． 由eq \f(b,a)＝ eq \r(\f(a2－c2,a2))＝eq \r(1－e2)(0<e<1)可知， 当e越趋近于1时，eq \f(b,a)越趋近于0，椭圆越扁； 当e越趋近于0时，eq \f(b,a)越趋近于1，椭圆越接近于圆． 当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.　　eq \a\vs4\al() 1．已知点(3，2)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，则(　　) A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上 C　[因为点(3，2)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，由椭圆的对称性可得点(3，－2)、(－3，2)、(－3，－2)均在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上．] 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，eq \f(4,5)　　　　　　 B．10，6，eq \f(4,5) C．5，3，eq \f(3,5) D．10，6，eq \f(3,5) B　[椭圆可变形为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1，∵焦点在y轴上， ∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5).] 3．若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为_________． 解析：　∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1， 由于eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1表示的是椭圆，则m>1， ∴m＝2，则椭圆方程为eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，∴a＝eq \r(3)，2a＝2eq \r(3). 答案：　2eq \r(3) 4．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_________． 解析：　依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，所以a2＝b2＋(a－1)2，解得a＝5，所以c＝4，所以椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5). 答案：　eq \f(4,5) 题型一　椭圆几何性质的简单应用 (1)已知椭圆x2＋my2＝1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　　) A．eq \r(2) B．2 C．eq \f(1,4) D．4 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq \f(1,2)，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． [思路点拨]　解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． 解析：　(1)把椭圆x2＋my2＝1化成标准式x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因为椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍， 所以 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4)，故选C． (2)椭圆方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝eq \r(m)，c＝eq \r(4－m)， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，∴m＝3，∴b＝eq \r(3)，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2eq \r(3)，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－eq \r(3))，B2(0，eq \r(3))． ②当m＞4时，a＝eq \r(m)，b＝2， ∴c＝eq \r(m－4)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，解得m＝eq \f(16,3)， ∴a＝eq \f(4\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为eq \f(8\r(3),3)，4，焦点坐标为F1(0，－eq \f(2\r(3),3))，F2(0，eq \f(2\r(3),3))，顶点坐标为A1(0，－eq \f(4\r(3),3))，A2(0，eq \f(4\r(3),3))，B1(－2，0)，B2(2，0)． 答案：　(1)C eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．已知椭圆方程不是标准形式时，应先化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上，再讨论其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置． (2)椭圆的范围决定椭圆的大小． (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度． (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．　　 即时练1.(1)过椭圆 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　) A．8，6 B．4，3 C．2，eq \r(3) D．4，2eq \r(3) (2)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析：　(1)由题意可得a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1， 所以a＝2，c＝1. 过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最长弦的长为椭圆的长轴的长，即2a＝4. 过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最短弦的长为过焦点且垂直于x轴的弦长． 在eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，令x＝1，得y＝±eq \f(3,2). 所以过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点的最短弦的长为2×eq \f(3,2)＝3.综上，故选B． (2)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为eq \f(4,5). 椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)， 焦距为2eq \r((25－k)－(9－k))＝8，离心率为eq \f(4,\r(25－k)). 因此两个椭圆的焦距相等，故选C． 答案：　(1)B　(2)C 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程 根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)长轴长为10，离心率为eq \f(3,5)； (2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6. [思路点拨]　 解析：　(1)由题意，得2a＝10，∴a＝5. 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，∴c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1. (2)如图，∵焦距为6，∴2c＝6， ∴c＝3. ∵B1F⊥B2F，∴∠B1FO＝45°， ∴|OB1|＝|OF|，∴b＝c＝3， ∴a2＝b2＋c2＝18. ∵焦点在x轴上，∴所求的椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1. eq \a\vs4\al(方法技巧) 已知椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点所在的坐标轴，确定椭圆标准方程的形式； (2)建立关于a，b，c的关系式或方程(组)，并解出a，b的值； (3)写出椭圆的标准方程．　　 即时练2.(1)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为(　　) A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．x2＋eq \f(y2,3)＝1 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1 (2)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_________． 解析：　(1)因为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，且c＝eq \r(2)，所以a＝eq \r(3)，b＝eq \r(a2－c2)＝1.所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.故选A． (2)∵直线x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1. 设O(0，0)，则kOP＝eq \f(1,2)，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2， 则直线AB的方程为y＝－2(x－1)， ∴直线AB与y轴的交点为(0，2)，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝5， 故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1. 答案：　(1)A　(2)eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 题型三　求椭圆的离心率 (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),4) D．eq \f(\r(6),4) (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为_________． [思路点拨]　(1)求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式．(2)设法建立关于a、c的不等式． 解析：　(1)如图，△BF1F2是正三角形， ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A． (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b. 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2)， 又因为0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 答案：　(1)A　(2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) eq \a\vs4\al(方法技巧) 求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a、b、c的方程或不等式，再求解． (1)若已知a、c可直接代入e＝eq \f(c,a)求得． (2)若已知a、b则使用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解． (3)若已知b、c，则求a，再利用(1)求解． (4)若已知a、b、c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)． (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a、b、c的关系，再列方程(不等式)求解．由于a、b、c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．　　 即时练3.(1)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3) (2)在△ABC中，|AB|＝|BC|，cos B＝－eq \f(7,18)，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝_________． 解析：　(1)把x＝－c代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)中，求得y＝±eq \f(b2,a)， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，±\f(b2,a)))，|PF1|＝eq \f(b2,a). 在Rt△PF1F2中，∵∠F1PF2＝60°，∴|PF2|＝2|PF1|. ∴|PF1|＋|PF2|＝3|PF1|＝eq \f(3b2,a)＝2a.∴b2＝eq \f(2,3)a2. ∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(2,3))＝eq \f(\r(3),3).故选B． (2)设|AB|＝|BC|＝1，又cos B＝－eq \f(7,18)， 则|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cos B＝eq \f(25,9)， 所以|AC|＝eq \f(5,3)，则2a＝|AC|＋|BC|＝eq \f(8,3)，2c＝|AB|＝1，e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3,8). 答案：　(1)B　(2)eq \f(3,8) 题型四　椭圆的实际应用 某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计)，A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3，试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标)． [思路点拨]　eq \x(\a\al(利用待定系数法,求出椭圆方程))―→eq \x(\a\al(利用点P到A、B,两点的距离求出,鱼群P的位置坐标)) 解析：　(1)设椭圆C的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 因为2a＝8，2c＝4， 所以a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12， 于是椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. (2)易知A(－2，0)，B(2，0)． 因为|PA|∶|PB|＝5∶3，|PA|＋|PB|＝8， 所以|PA|＝5，|PB|＝3. 设P(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋2)2＋y2＝25，,(x－2)2＋y2＝9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±3.)) 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．解决与椭圆相关的应用题的基本策略： (1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质； (2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解． 2．利用椭圆解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系； (2)求出椭圆的标准方程(待定系数法)； (3)根据椭圆的方程及性质解决实际问题．　　 即时练4.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(距地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一个直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝eq \r((m＋R)(n＋R)) ABD　[∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c＝m＋R，,a＋c＝n＋R，))(*)故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝eq \r((m＋R)(n＋R))，故D正确．] 题型五　与椭圆有关的综合问题 已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－eq \r(2)，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足eq \o(PM,\s\up15(→))＋eq \o(F2M,\s\up15(→))＝0. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围． [思路点拨]　(1)由点P(－eq \r(2)，1)在椭圆上和eq \o(PM,\s\up15(→))＋eq \o(F2M,\s\up15(→))＝0，M在y轴上，可得到两个关于a，b的关系式，联立解得b2＝2，a2＝4.从而能得到所求椭圆C的方程． (2)点M(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为M(x1，y1)，由题设能导出3x1－4y1＝－5x0，由点P(x0，y0)在椭圆C上，知－2≤x0≤2.由此可求出3x1－4y1的取值范围． 解析：　(1)因为点P(－eq \r(2)，1)在椭圆上， 所以eq \f(2,a2)＋eq \f(1,b2)＝1.① 又因为eq \o(PM,\s\up15(→))＋eq \o(F2M,\s\up15(→))＝0，M在y轴上， 所以M为PF2的中点，所以－eq \r(2)＋c＝0，c＝eq \r(2). 所以a2－b2＝2.② 联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，所以a2＝4. 故所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)因为点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y1,x0－x1)×2＝－1，,\f(y0＋y1,2)＝2×\f(x0＋x1,2)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(4y0－3x0,5)，,y1＝\f(3y0＋4x0,5).)) 所以3x1－4y1＝－5x0. 因为点N(x0，y0)在椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上， 所以－2≤x0≤2， 所以－10≤－5x0≤10， 即3x1－4y1的取值范围为[－10，10]． eq \a\vs4\al(方法技巧) 椭圆几何性质的拓展 (1)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|PO|有最小值，这时P在短轴端点处；当x＝a时，|PO|有最大值，这时P在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式a2＝b2＋c2. (4)椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点．　　 即时练5.已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，则|PA|的最小值为_________． 解析：　设P(x，y)，则|PA|＝eq \r(x2＋(y－5)2)＝eq \r(x2＋y2－10y＋25). 因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点， 所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7. 则|PA|＝eq \r(98－2y2＋y2－10y＋25)＝eq \r(－(y＋5)2＋148). 因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2. 答案：　2 易错点1　忽略焦点位置致错 若椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，求k的值． [正解]　(1)若焦点在x轴上，即当k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9. 又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，解得k＝4. (2)若焦点在y轴上，即当0<k＋8<9时，a2＝9，b2＝k＋8. 又因为e＝eq \f(1,2)，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1－k,9)＝eq \f(1,4)，解得k＝－eq \f(5,4). 综上可知，k＝4或k＝－eq \f(5,4). [易错探因]　错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论． [误区警示]　在解椭圆的有关问题时，有时需要进行分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论． 易错点2　忽略椭圆的范围致错 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到椭圆的最远距离是eq \r(7)，求椭圆的标准方程． [正解]　设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)， 所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，即a＝2b. 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq \f(9,4) ＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋4b2＋3(－b≤y≤b)． 若b<eq \f(1,2)，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是(eq \r(7))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3,2))) eq \s\up12(2)， 解得b＝±eq \r(7)－eq \f(3,2)，与0<b<eq \f(1,2)矛盾． 所以必有b≥eq \f(1,2)，此时当y＝－eq \f(1,2)时，d2有最大值，从而d有最大值，即4b2＋3＝(eq \r(7))2，解得b2＝1，所以a2＝4. 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. [易错探因]　本题易忽略椭圆方程中y的取值范围，在解题时直接得：当y＝－eq \f(1,2)时，d2有最大值．事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论． [误区警示]　与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定要注意函数的定义域． $$