专题2.12 椭圆的几何性质（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.12 椭圆的几何性质 教学目标 ①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。 ②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。 ③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。 教学重难点 重点:椭圆的几何性质 难点:椭圆的几何性质的理解和应用. 知识点01 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】A 【分析】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m． 【详解】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5， 故选：A． 知识点02离心率 椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练】若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 知识点03 常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04 直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【详解】（1） 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】已知椭圆的离心率为，则 ． 【答案】2 【分析】把椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆方程中的关系求解即可. 【详解】椭圆，即， 且，故， 即， 因为离心率为，故， 所以，故， 所以. 故答案为：2 【变式1】已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由题意得直线为，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关系求参数值，即可得. 【详解】由题意，，，则直线的方程为，即，    所以点到直线的距离①． 由的周长为16，得，即②． 联立①②，解得③． 因为，所以④． 联立②④，解得，，所以． 故选：D 【变式2】若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 故选：A. 【变式3】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再列出不等式求解. 【详解】依题意，椭圆的长半轴长为6，短半轴长为，则， 所以椭圆短轴长的取值范围是. 故选：B 【变式4】已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的标准方程和离心率的概念求的，结合椭圆的定义计算即可求解. 【详解】椭圆，椭圆的焦点在轴上，， 则离心率，即，由解得， 椭圆的长轴长为， 由椭圆的定义可知，. 故答案为：2 题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 【变式1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.求的标准方程. 【答案】 【分析】由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. 【详解】 设椭圆的焦距， 所以的周长为， 即.又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. 【变式2】求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 【变式3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【变式4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 题型03 求椭圆的离心率的值 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 【变式1】已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 【变式3】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 解法二：通过点横坐标的范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 故选：B． 解法二：设≠，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 故选：B． 【变式4】已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型04 求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】不妨设椭圆方程为，由椭圆和正方形的对称性可知正方形与椭圆中心点相对的顶点可以是长轴顶点或短轴顶点，分两种情况求出正方形顶点，代入椭圆方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设椭圆方程为，由椭圆和正方形的对称性可知正方形与椭圆中心点相对的顶点可以是长轴顶点或短轴顶点. 如上图，当正方形与点相对的顶点为长轴顶点时，如点,因，则易得在椭圆上，将其代入椭圆方程得，即，则，解得； 如上图，当正方形与点相对的顶点为短轴顶点时，如点,因，则易得在椭圆上，将其代入椭圆方程得，即，这显然与矛盾，故这种情况不存在.. 故答案为：. 【变式1】设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】 设左焦点为，则由椭圆的定义知，， 因为，所以， 则，可得，此时满足点在椭圆内，所以． 故答案为：. 【变式2】已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，得四边形为平行四边形，利用椭圆定义求出，，再根据点到直线的距离不小于，求出，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，，如图， 由椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，又，解得， 由点到直线的距离，解得，即， 所以，故． 故答案为：. 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 【变式4】已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】又题设，则，，则，可得到，且等号需成立，即可得到离心率. 【详解】    由题意，． 设，则，．P在椭圆上，则， 故， 即．而，故， 整理得， 所以，，． 由题意，最大值可取到，即等号须成立，否则不存在使得． 故，，C的离心率为. 故答案为：. 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式； 题型05 根据椭圆离心率求参数 【典例1】已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解即可求得结果． 【详解】，，所以，， ，解得， . 故选：A. 【变式1】已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先判断焦点在轴上，根据离心率求出，即可得解. 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 【变式2】已知椭圆的离心率，则实数 ． 【答案】或 【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解. 【详解】①若焦点在轴上，则，即，， 则， 可得，解得； ②若焦点在轴上，则，即， 则 可得，即； 故答案为：或. 【变式3】已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 【答案】或. 【分析】根据离心率定义求椭圆的离心率，结合条件确定椭圆的离心率，讨论焦点位置列方程求. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则， ， ， 所以椭圆的离心率，又， 所以， 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，所以， 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 所以或. 故答案为：或. 【变式4】椭圆且的离心率为，则 . 【答案】 【分析】将焦点分为在 轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得的值. 【详解】椭圆的离心率满足. 当椭圆焦点在轴上时，且， 解得. 当椭圆焦点在轴上时，且， 解得. 故答案为：. 题型06 直线与椭圆的位置关系 【典例1】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式2】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式3】直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案. 【详解】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A．    【变式4】直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 题型07 直线与椭圆相切 【典例1】直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【答案】或或（只需写一条） 【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：    由图可知，或与圆和椭圆同时相切， 即符合条件的的方程可以为或 假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知 所以① 由得 由得② 由①②解得 故答案为： 或或（只需写一条） 【变式1】已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率； （2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 所以，解得， 由，得， 所以的离心率. （2）    由（1）可得的方程为，， 联立，得， 由，得， 直线的一般式方程为：. 【变式2】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； 题型08 弦长 【典例1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，求出的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【详解】（1）由题意，所以短轴长为，且， 所以的周长为， 即的周长为． （2），又直线过点，所以， 所以直线的方程为， 联立，整理可得，可得或，可得或， 所以． 【变式2】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【详解】（1） 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 【变式3】已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得； （2）由椭圆的性质得到当，，三点共线时取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算可得. 【详解】（1）设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆的几何性质有， 故，. 所以的方程为. （2） 设的左焦点为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时. 因为，故直线的方程为. 与的方程联立有， 整理有，，解得，. 故直线被截得的弦长为. 【变式4】已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及短轴长的概念，由的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，联立写出韦达定理，利用点到直线距离公式以及弦长公式，根据三角形面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题设知：，解得， 所以C的方程为 （2） ∵，设直线的方程为，， ∵  ∴ ∴，整理得， 可得，∴， ∴， ∴，∴. 弦长 弦长 题型09 中点弦和点差法 【典例1】已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 故椭圆C的方程为． （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 【变式1】已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. 【详解】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 【变式2】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【答案】（在椭圆内部的部分）. 【分析】设弦的中点坐标为，根据点差法，结合题意，即可求得其轨迹方程. 【详解】设弦的端点为，，其中点是， 则，，由于点，在椭圆上，则有：， 两式做差可得，所以， 化简得（在椭圆内部的部分）． 所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）. 【变式3】已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【详解】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【变式4】已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. (1)求的方程； (2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程； （2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题. 【详解】（1）由题意可得，得，所以的方程为. （2）由题意得. 设，，依题意可得，且， 由得， 则，解得. 经检验，点在椭圆内. 所以为所求. 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 题型10 椭圆中三角形面积问题 【典例1】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【详解】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 【变式1】已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可； （2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可. 【详解】（1）由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． （2）由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 【变式2】已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率； （2）先求得直线的方程，求得弦的长度，进而求得的面积表达式，进而求得的面积的最小值． 【详解】（1）椭圆中，，则， 则，则椭圆的离心率为 （2）设，， 设过点的切线方程为， 由， 则， 此时方程的根为： ， 则切线方程为：， 当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为：，满足， 所以过点的椭圆的切线方程为：， 同理过点的切线方程为， 又在两条切线上，则，， 则直线AB的方程为，即 由整理得，， 则， 则 ， 又点M到直线AB的距离， 则的面积为 令，则，， 则， 令，， 则恒成立， 则在上单调递增，则 当且仅当即点M坐标为时等号成立， 则的面积的最小值为. 【变式3】在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设出点坐标，表达出向量，即可根据关系式得出曲线的方程； （2）作出图象，设出直线与椭圆的交点坐标和点到直线的距离，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理得出面积的表达式，结合基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意， ，分别是，轴上一点，且． 动点满足， 设，，， ∴，，， 即 ∴，解得：， ∴曲线的方程为：． （2）由题意及（1）得， 在中， 过点的直线与曲线交于，两点， 易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，， 由消去得， 由，得， ，． 设点到直线距离为，的面积为， ，解得： 设，则， ， 当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 【变式4】已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由条件可得，再根据, 求出，可得答案； (2)联立直线与椭圆方程可得，，，可得AB弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解. 【详解】（1）椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为，， 所以，即.则，又，， ； （2）设，， 由得：， ，，， ， 又原点到直线的距离，， 即，解得，满足，， 故椭圆的方程为. 1．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】解法1：设，利用椭圆的定义得，结合轴，利用勾股定理求解即得；解法2：利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得. 【详解】解法1：由题意知，设，则由可得， 在中，，即，解得． 解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以， 则． 故选：C. 2．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由题意得直线为，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关系求参数值，即可得. 【详解】由题意，，，则直线的方程为，即，    所以点到直线的距离①． 由的周长为16，得，即②． 联立①②，解得③． 因为，所以④． 联立②④，解得，，所以． 故选：D 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形求出，再由求出可得答案. 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 6．已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，联立得到，进而得到中点的坐标及轨迹方程即可. 【详解】设， ， ， ，即， 又为线段AB的中点，所以，则的轨迹方程为， 所以，都在上， 又，所以，因为，所以D错误. 故选：C. 7．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 解法二：通过点横坐标的范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 故选：B． 解法二：设≠，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 故选：B． 8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 9．（多选）已知,分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．当时，满足的点共有4个 B．的周长不一定小于 C．的面积不可能大于 D．若恒成立，则的离心率的可能值为 【答案】AC 【分析】焦点三角形的顶点运动到短轴顶点时，和的面积最大，可解A、C选项；利用椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，可解B选项；椭圆上动点到焦点的距离范围为，建立不等式，可解D选项. 【详解】对于A，当点的坐标为或时，最大， 若，此时，所以， 所以，即最大值为， 故使的点有个，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可知的周长为，故B错误； 对于C，的面积为，故C正确； 对于D，因为，所以， 两边平方结合可得， 得，解得，又，所以， 因为，故D错误. 故选：AC. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得点A，，的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值． 【详解】由椭圆C：可得：，，，． ，由对称性，不妨令． 设，则又， ， 的最大值为． 故答案为：. 11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质结合关系求解可得； （2）设，由在椭圆上，得，再利用斜率的定义代入化简可得. 【详解】（1）由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 12．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知条件设出点的坐标，再利用为线段的中点得到，代入中即可求解； （2）将转化为用和表示，代入点的坐标得到关于的一元二次函数即可求得最大值. 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 13．已知椭圆上一点，不过点的直线交于两点，且均位于的左侧，直线的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与椭圆联立得，再结合韦达定理及从而可求得，即可求解； （2）不妨设直线的倾斜角分别为，结合题意可求出，则得直线的方程为，直线的方程为，再与椭圆联立并结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率存在，可设直线的方程为，且， ，，联立消得， 则，即， ， 因为， ， 所以，即， 所以， 化简得， 又，所以，即，所以直线的斜率为1． （2）不妨设直线的倾斜角分别为，由得， 因为点均位于点的左侧， 则点在上方，在下方，如图，    结合倾斜角的定义可得， 因为， 所以，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为，直线的方程为，故． 联立消去整理得， 因为是方程的一个解，由韦达定理得，故，即， 所以直线的方程为，所以， 点到直线的距离， 所以． 即的面积为． 14．已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）因，，所以，，即． 当P是椭圆右顶点时，取得最小值，最小值为，故， 则，，椭圆C的方程为． （2）当过点F的直线l的斜率为0时，，不符合要求． 当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为， 代入，得，恒成立． 设，，则，， 故， 故，解得， 故直线l的方程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.12 椭圆的几何性质 教学目标 ①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。 ②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。 ③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。 教学重难点 重点:椭圆的几何性质 难点:椭圆的几何性质的理解和应用. 知识点01 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ， ， ， ， 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 知识点02离心率 椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练】若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点03 常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04 直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆 直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】已知椭圆的离心率为，则 ． 【变式1】已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【变式2】若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式3】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则 . 题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【变式1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上的动点，的周长为6.求的标准方程. 【变式2】求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【变式3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【变式4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 题型03 求椭圆的离心率的值 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式4】已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型04 求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【变式1】设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【变式2】已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式4】已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式； 题型05 根据椭圆离心率求参数 【典例1】已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】已知椭圆的离心率，则实数 ． 【变式3】已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 【变式4】椭圆且的离心率为，则 . 题型06 直线与椭圆的位置关系 【典例1】直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式2】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式3】直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式4】直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 题型07 直线与椭圆相切 【典例1】直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【变式1】已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【变式2】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； 题型08 弦长 【典例1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点． (1)求的短轴长及的周长； (2)若直线过点，求弦长． 【变式2】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 【变式3】已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【变式4】已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 弦长 弦长 题型09 中点弦和点差法 【典例1】已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【变式1】已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【变式2】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【变式3】已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式4】已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. (1)求的方程； (2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 题型10 椭圆中三角形面积问题 【典例1】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【变式1】已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【变式2】已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)若点为直线上的动点，过点作该椭圆的切线切点分别为，求的面积的最小值． 【变式3】在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【变式4】已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 1．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 2．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与椭圆相交于两点，则线段AB的中点M的轨迹必经过点（    ） A． B． C． D． 7．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 9．（多选）已知,分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．当时，满足的点共有4个 B．的周长不一定小于 C．的面积不可能大于 D．若恒成立，则的离心率的可能值为 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足．若点是椭圆上的动点，则的最大值为 ． 11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 12．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 13．已知椭圆上一点，不过点的直线交于两点，且均位于的左侧，直线的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，求的面积． 14．已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $