2.4 曲线与方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 2．4　曲线与方程 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 方程F(x，y)＝0的解 都在曲线C上 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 课 时 精 练(十七) 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 谢谢观看！ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 课 时 精 练 [课标解读]1．曲线与方程的对应关系．2．“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念． 知识点一　曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是______________________； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点__________________． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． eq \a\vs4\al(特别提醒) 定义的“纯粹性”与“完备性” (1)定义中的(1)说明了曲线上所有的点都满足方程而毫无例外(纯粹性)； (2)定义中的(2)说明了符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上，不能有任何遗漏(完备性)．　　 知识点二　求曲线的方程 1．坐标法 借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程F(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就是坐标法． 2．求曲线方程的一般步骤 (1)设点：设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)列式：写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简、检验：化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． eq \a\vs4\al(特别提醒) (1)求动点M轨迹方程时，如果题中没有确定坐标系，首先要选取适当的坐标系，建立坐标系时，通常选取特殊位置为原点，以运算简单为原则． (2)列式是将几何条件转化为代数方程，在这个过程中常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等． (3)化简过程中要注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．　　 1．已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　) A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0 C　[根据曲线的方程的定义知，选C．] 2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) B　[∵x＋|y－1|＝0， ∴|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，∴方程表示的曲线在y轴及y轴左侧，故选B．] 3．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－2)2＝eq \f(1,2) B．(x－3)2＋(y＋2)2＝eq \f(1,2) C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2 D．(x＋3)2＋(y＋2)2＝2 C　[将圆的方程化为标准形式(x－1)2＋y2＝2，圆心坐标为(1，0)，半径r＝eq \r(2).设圆心关于直线2x－y＋3＝0的对称点为(a，b)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(1＋a,2)－\f(b,2)＋3＝0，,\f(b,a－1)×2＝－1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＋8＝0，,b＝\f(1－a,2)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.)) ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2.] 4．在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足eq \o(OC,\s\up15(→))＝αeq \o(OA,\s\up15(→))＋βeq \o(OB,\s\up15(→))，其中α，β∈R，且α＋β＝1，O为坐标原点，则点C的轨迹为(　　) A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 B　[设C(x，y)，则由eq \o(OC,\s\up15(→))＝αeq \o(OA,\s\up15(→))＋βeq \o(OB,\s\up15(→))， 得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3α－β，,y＝α＋3β.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＝\f(1,10)(3x＋y)，,β＝\f(1,10)(3y－x).)) ∵α＋β＝1，∴x＋2y＝5.] 题型一　曲线与方程的关系判断及应用 (1)如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则以下说法正确的是(　　) A．曲线l的方程是F(x，y)＝0 B．方程F(x，y)＝0的曲线是l C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上 D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系． ①到两坐标轴距离相等的点与方程y＝x的关系； ②以坐标原点为圆心，半径为2的圆与方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0. 解析：　(1)原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，故选C． (2)①方程y＝x上的点都在一、三象限的角平分线上，即这些点到两坐标轴的距离相等．反之，到两坐标轴距离相等的点的坐标，不一定在y＝x上，也可能在y＝－x上． ②以坐标原点为圆心，以2为半径的圆上的点的坐标，都满足方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0，但以方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0的解为坐标的点不一定在以原点为圆心，以2为半径的圆上． 答案：　(1)C eq \a\vs4\al(方法技巧) 说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0是曲线C的方程时，必须严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”．　　 即时练1.已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条(　　) A．过点P且垂直于l的直线 B．过点P且平行于l的直线 C．不过点P但垂直于l的直线 D．不过点P但不平行于l的直线 B　[∵P(x0，y0)不在直线l上，∴f(x0，y0)≠0. ∴方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线与l平行．又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，∴点P(x0，y0)在方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线上，即直线过点P.] 题型二　 已知方程判断曲线类型 方程(x＋y－1)eq \r(x2＋y2－4)＝0表示什么曲线？ [思路点拨]　判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有配方法、因式分解法，然后转化为我们熟悉的曲线方程的形式，再根据方程、等式的性质作出准确判断． 解析：　由(x＋y－1)eq \r(x2＋y2－4)＝0， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2－4≥0))或x2＋y2－4＝0， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4))或x2＋y2＝4. 由圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<2，知直线与圆相交， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4))表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上及此圆外的部分． 故原方程表示圆心在(0，0)、半径为2的圆和斜率为－1、纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4外的部分． eq \a\vs4\al(方法技巧) 已知方程判断曲线类型的步骤 即时练2.方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(　　) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 C　[x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1， 表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1. x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x2＋y2－1＝0)) ⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝±1，))表示点(0，1)、(0，－1)．] 题型三　直接法或定义法求曲线方程 在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． 法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解． 法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上． 解析：　法一(直接法)：以AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－a，0)，B(a，0)，设动点C为(x，y)． 由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以(eq \r((x＋a)2＋y2))2＋(eq \r((x－a)2＋y2))2＝4a2， 整理得x2＋y2＝a2. 由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a. 所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一． 因为AC⊥BC， 则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)， 因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．直接法求曲线方程 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少． 2．定义法求曲线方程 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．　　 即时练3.(1)已知一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程． (2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解析：　(1)设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|. 则|8－x|＝2eq \r((x－2)2＋(y－0)2). 化简，得3x2＋4y2＝48， 故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48. (2)如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ. 设M为OC的中点，则M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)). ∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))为圆心，OC为直径的圆上， 由圆的方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(0<x≤1)． 题型四　代入法求曲线方程 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 [思路点拨]　中点M与圆上点Q有关，点Q是点M的相关点，只需找到点M与点Q的坐标之间的关系，即可求得点M的轨迹方程． A　[设Q(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任一点， PQ的中点为M(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4＋x0,2)＝x，,\f(－2＋y0,2)＝y，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.)) 代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.] eq \a\vs4\al(方法技巧) 代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤： 即时练4.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq \o(MN,\s\up15(→))|·|eq \o(MP,\s\up15(→))|＋eq \o(MN,\s\up15(→))·eq \o(NP,\s\up15(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x B　[设点P的坐标为(x，y)，则eq \o(MN,\s\up15(→))＝(4，0)，eq \o(MP,\s\up15(→))＝(x＋2，y)，eq \o(NP,\s\up15(→))＝(x－2，y)， ∴|eq \o(MN,\s\up15(→))|＝4，|eq \o(MP,\s\up15(→))|＝eq \r((x＋2)2＋y2)，eq \o(MN,\s\up15(→))·eq \o(NP,\s\up15(→))＝4(x－2)． 根据已知条件得4eq \r((x＋2)2＋y2)＝4(2－x)． 整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.] $$