2.3.3 直线与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 2．3．3　直线与圆的位置关系 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 2 1 0 ＜ ＝ ＞ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 ＞ ＝ ＜ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 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精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(十五) 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 ［课标解读］1．直线与圆的位置关系．2．直线与圆的方程的应用． 知识点　直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ____个 ____个 ____个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d___r d____r d_____r 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 代数法：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，, (x－a)2＋(y－b)2＝r2)) 消元得到一元二次方程，判别式为Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0 图形 eq \a\vs4\al(特别提醒) (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系． (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离． (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，是判断直线与圆位置关系的常用方法.　　 1.若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 D　［当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．］ 2.直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 A　［圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0，1)，半径为 eq \r(5). 圆心(0，1)到直线2x－y＋3＝0的距离 d＝ eq \f(|－1＋3|,\r(22＋(－1)2))＝ eq \f(2,5) eq \r(5)＜ eq \r(5)，∴直线和圆相交．］ 3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则实数b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 CD　［圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为 eq \f(|7－b|,5) ＝1，解得b＝2或12.］ 4.直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝　　　　_________． 解析：　由已知得，圆心(0，0)到直线x－2y＋5＝0的距离为d＝ eq \f(5,\r(5))＝ eq \r(5)， 所以|AB|＝2 eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(8－5)＝2 eq \r(3). 答案：　2 eq \r(3) 题型一　直线与圆的位置关系的判断 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． ［思路点拨］　思路一：联立直线与圆的方程→整理成关于x(或y)的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论． 思路二：求圆的圆心C，半径r→圆心到直线的距离d→判断d与r的大小关系→得出结论． 解析：　方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0， Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ＞0时，即m＞0或m＜－ eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－ eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ＜0时，即－ eq \f(4,3)＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝ eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝ eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)) . (1)当d＜2时，即m＞0或m＜－ eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－ eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d＞2时，即－ eq \f(4,3)＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． eq \a\vs4\al(方法技巧) 判断直线与圆位置关系的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.　　 即时练1.已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 A　［将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交．］ 即时练2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2］ B．(1，2］ C．(0，2) D．(1，2) C　［由题意得，圆心到直线的距离为d＝ eq \f(|1＋1|,\r(12＋(－1)2))> eq \r(m)， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2.］ 题型二　求圆的切线方程 经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为_________． ［思路点拨］ 解析：　因为(4－2)2＋52＝29>4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外． 方法一：若切线的斜率存在， 设切线的方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0. 又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，所以 eq \f(|2k－0＋5－4k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝ eq \f(21,20)， 所以直线的方程为21x－20y＋16＝0. 若切线的斜率不存在，则切线的方程为x＝4，显然满足题意． 综上可知，满足题意的切线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4. 方法二：设所求切线方程为(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圆上的切点．将点(4，5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4. 由eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2(x0－2)＋5y0＝4，,(x0－2)2＋y＝4，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝4，,y0＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\f(16,29)，,y0＝\f(40,29)．)) 故所求切线方程为x＝4或21x－20y＋16＝0. 答案：　x＝4或21x－20y＋16＝0 eq \a\vs4\al(方法技巧) 求切线方程的常用方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为－ eq \f(1,k)，由点斜式方程可得切线方程．若k＝0或k不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 ①几何法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．　　 即时练3.已知圆C：(x－3)2＋y2＝1. (1)过点P(0，1)作直线l与圆C相切，切线长为_________，直线l的方程为_________； (2)过点P(2，3)作直线l与圆C相切，则直线l的方程为_________； (3)过直线y＝x＋1上一点P向圆C引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为_________． 解析：　(1)如图，设切点为Q，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°. 而|CP|2＝32＋12＝10，|CQ|＝r＝1， 所以|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝10－1＝9，则|PQ|＝3. 依题意可设直线l：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0. 圆心C(3，0)到直线l的距离d＝ eq \f(|3k＋1|,\r(1＋k2))＝1， 整理得4k2＋3k＝0，解得k＝－ eq \f(3,4)或k＝0. 故直线l的方程为y＝1或3x＋4y－4＝0. (2)当直线l的斜率存在时， 设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， 圆心C(3，0)到直线l的距离为d＝ eq \f(|k＋3|,\r(1＋k2))＝1， 化简整理得3k＋4＝0，即k＝－ eq \f(4,3)， 这时直线l的方程为4x＋3y－17＝0； 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，易知它与圆(x－3)2＋y2＝1相切． 故直线l的方程为4x＋3y－17＝0或x＝2. (3)法一：如图，连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°. 设点P(a，a＋1)(a∈R)， 则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时等号成立). 故|PQ|≥ eq \r(7)，即|PQ|的最小值为 eq \r(7). 法二：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°. 则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2，|CQ|＝1. 当|PC|取得最小值时|PQ|最小，而点P是直线y＝x＋1的动点，所以当CP垂直于直线y＝x＋1时，|CP|最小， 此时|CP|＝ eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \f(4,\r(2))＝2 eq \r(2)， |PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝8－1＝7，|PQ|＝ eq \r(7). 故|PQ|的最小值为 eq \r(7). 答案：　(1)3　y＝1或3x＋4y－4＝0　(2)4x＋3y－17＝0或x＝2　(3) eq \r(7) 题型三　圆的弦长问题 求直线x－ eq \r(3)y＋2 eq \r(3)＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． ［思路点拨］　法一：求直线与圆的交点坐标，由距离公式求弦长． 法二：几何法构造直角三角形求弦长． 解析：　法一：　直线x－ eq \r(3)y＋2 eq \r(3)＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2\r(3)＝0，,x2＋y2＝4))的解． 解这个方程组，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝－\r(3)，,y1＝1，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2.)) 所以公共点的坐标为(－ eq \r(3)，1)，(0，2)， 所以直线x－ eq \r(3)y＋2 eq \r(3)＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为 eq \r((－\r(3)－0)2＋(1－2)2)＝2. 法二：　如图，设直线x－ eq \r(3)y＋2 eq \r(3)＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝ eq \f(|0－0＋2\r(3)|,\r(12＋(－\r(3))2))＝ eq \r(3)， 所以|AB|＝2|AM|＝2 eq \r(|OA|2－|OM|2)＝2 eq \r(22－(\r(3))2)＝2. eq \a\vs4\al(方法技巧) 求弦长的两种方法 (1)几何法．由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用d2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2))) eq \s\up12(2)＝r2求解，这是常用解法． (2)代数法．联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解．此解法较烦琐，一般不用．　　 即时练4.已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 解析：　(1)方法一：如图所示，过点O作OC⊥AB． 由已知条件得直线AB的斜率为 k＝tan 135°＝－1， 所以直线AB的方程为 y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. 因为圆心为O(0，0)， 所以|OC|＝ eq \f(|－1|,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2). 因为r＝2 eq \r(2)，所以|BC|＝ eq \r(8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(30),2)， 所以|AB|＝2|BC|＝ eq \r(30). 方法二：当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8， 得2x2－2x－7＝0. 所以x1＋x2＝1，x1x2＝－ eq \f(7,2)， 所以|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝ eq \r((1＋1)［(x1＋x2)2－4x1x2］) ＝ eq \r(30). (2)如图，当弦AB被点P平分时， OP⊥AB， 因为kOP＝－2，所以kAB＝ eq \f(1,2)， 所以直线AB的方程为y－2＝ eq \f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 题型四　直线与圆位置关系的综合应用 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B．从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求|DE|的最小值． ［思路点拨］　 解析：　以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1. 因为点B(8，0)，C(0，8)， 所以直线BC的方程为 eq \f(x,8)＋ eq \f(y,8)＝1，即x＋y－8＝0. 易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，由图得，当中心O到直线BC的距离减去半径得到|DE|的最小值为 eq \f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4 eq \r(2)－1)(km). 故|DE|的最小值为(4 eq \r(2)－1)km. eq \a\vs4\al(方法技巧) 有关直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 即时练5.(2020·河北石家庄检测)在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值． 解析：　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0). 设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)， 则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，得2r＋5＝4＋3，即内切圆的圆心为(1，1).∴r＝1. ∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝2x－1.　① 又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2 ＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2 ＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，　② 将①代入②，得 |PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25 ＝－2x＋22. ∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2， ∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18. 又三个圆的面积之和为π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2))) eq \s\up12(2)＋π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PB|,2))) eq \s\up12(2)＋π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PO|,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(π,4)(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)， ∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为 eq \f(11,2)π，最小值为 eq \f(9,2)π. 易错点　求切线方程时忽略斜率不存在的情况 过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程为_________． ［正解］　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25， ∴圆心的坐标为C(1，2)，半径r＝5. 易知点P(6，－8)在圆C的外部， 显然直线x＝6是其中一条切线， 设另一条切线的斜率为k， 则另一条切线的方程为y＋8＝k(x－6)， 即kx－y－6k－8＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得 eq \f(|k－2－6k－8|,\r(k2＋1))＝5， 解得k＝－ eq \f(3,4). ∴切线的方程为－ eq \f(3,4)x－y－6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))－8＝0， 即3x＋4y＋14＝0. 综上可知，切线的方程为x＝6和3x＋4y＋14＝0. 答案：　x＝6和3x＋4y＋14＝0. ［易错探因］　解本题时容易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即忽略切线x＝6，从而造成漏解． ［误区警示］　过圆外一点作圆的切线有两条，所以如果设出斜率后只求出一值，说明另一条切线的斜率不存在，可以直接求得切线． $$