2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 2．2　直线及其方程 2．2．1　直线的倾斜角与斜率 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 相交 x轴 正向 向上 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 相交 平行 重合 0° 0°≤α＜180° 正切值 tan α 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 垂直 v⊥l 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 答案：　7　0 合作探究 素能提升 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(十) 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第二章　平面解析几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]1．直线的倾斜角．2.直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴_________ 定义 以_________作为基准，x轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 前提条件 直线l与x轴_________ 特殊情况 当直线l与x轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________ 取值范围 _______________ 2.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母k表示，即k＝_________． 3．斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_________． 知识点二　直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. eq \f(y2－y1,x2－x1) 知识点三　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l _________，则称向量v为直线l的一个法向量，记作_________． 1．给出下列结论： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝eq \f(\r(2),2)，则α＝45°. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角 为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误；④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误．] 2．直线l的倾斜角是斜率为eq \r(3)的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　) A．1 B．eq \r(3) C．eq \f(2\r(3),3) D．－eq \r(3) D　[∵tan α＝eq \r(3)，0°≤α<180°， ∴α＝60°，∴2α＝120°， ∴k＝tan 2α＝－eq \r(3).故选D．] 3．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为(　　) A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－2 D．2 A　[直线AB的斜率k＝eq \f(1－0,－1－1)＝－eq \f(1,2).] 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝ _________，y1＝_________． 解析：　因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k. 所以eq \f(5－y1,x2－2)＝eq \f(1－5,3－x2)＝1，解之得x2＝7，y1＝0. 答案：　7　0 题型一　求直线的倾斜角 (多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° [思路点拨]　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角． AB　[根据题意，画出图形，如图所示： 通过图象可知： 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.] eq \a\vs4\al(方法技巧) 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：0°≤α<180°.　　 即时练1.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为_________． 解析：　如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：　135° 题型二　直线的斜率 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝_________． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． [思路点拨]　(1)利用公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)＝tan α； (2)利用方向向量的共线求解； (3)利用公式k＝tan α(α≠90°)． 解析：　(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°， ∴eq \f(y＋3,4－2)＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. (2)由条件可知，直线的一个方向向量为(－1－0，0－y)， 即(－1，－y)．又(1，2)是直线的另一方向向量， 则eq \f(－1,1)＝eq \f(－y,2)，解得y＝2. (3)直线l1的倾斜角为α1＝30°， 直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴kl1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，kl2＝tan 120°＝－eq \r(3). 答案：　(1)D　(2)2 eq \a\vs4\al(方法技巧) 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．　　 即时练2.直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝_________．直线PQ的倾斜角为_________角(填“钝”或“锐”)． 解析：　k＝eq \f(3－2,－3－3)＝－eq \f(1,6)<0，直线PQ的倾斜角为钝角． 答案：　－eq \f(1,6)　钝 即时练3.设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为_________． 解析：　依题意知直线AC的斜率存在， 则m≠－1. 由kAC＝3kBC， 得eq \f((－m＋3)－4,m－(－1))＝3·eq \f((m－1)－4,2－(－1))，∴m＝4. 答案：　4 题型三　倾斜角与斜率的综合问题 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路点拨]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA． 解析：　如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1， kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是 45°≤α≤135°. eq \a\vs4\al(方法技巧) 直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角 是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°<α<180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．　　 即时练4.已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．当点D线段BC(包括端点)上移动时，直线AD的斜率的变化范围为_________． 解析：　由斜率公式，得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7)； 直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3). 如图，当点D由点B运动到点C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC． 所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))). 答案：　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))) 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [正解]　当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k＝eq \f(3－2,m－1)＝eq \f(1,m－1)， 当m>1时，k＝eq \f(1,m－1)>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是 0°<α<90°； 当m<1时，k＝eq \f(1,m－1)<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. [易错探因]　利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”．解本题时易忽略m＝1，即斜率不存在的情况． [误区警示]　求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解． 易错点2　忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致错 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))，且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)，\f(3,7))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,7))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪[1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞)) [正解]　如图，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率为正值并逐渐变大直至l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直到PB的位置，易求得直线PA的斜率kPA＝eq \f(3,7)， 直线PB的斜率kPB＝－eq \f(11,6)， 则直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞)). 答案：　D [易错探因]　解本题时易由直线PA的斜率kPA＝eq \f(3,7)，直线PB的斜率kPB＝－eq \f(11,6)，得直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)，\f(3,7))).事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为90°)时，直线l的斜率不存在．出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为90°时直线无斜率． [误区警示]　用α表示直线的倾斜角，则当0°≤α<90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当90°<α<180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． $$