1.2.4 二面角-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 1．2.3　直线与平面的夹角 1．2.4　二面角 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 锐角 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 射影 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 棱 面 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [0，π] 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(七) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]1．直线与平面所成的角.2．利用向量法求二面角． 知识点一　直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角的分类 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的_________，称为这条斜线与平面所成的角．例如，如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． 3．线线角、线面角的关系式 如图，AO为平面α的一条斜线段，O为斜足，AA1⊥平面α，A1为垂足，则OA1为斜线段AO在平面α内的射影，设OM为平面α内通过点O的任一条直线，OA与OA1所成的角为θ1，OA1与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则cos θ＝____________． cos θ1cos θ2 4．最小角定理 斜线和它在平面内的_________所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 5．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ， 如图①②所示，则θ＝eq \f(π,2)－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－eq \f(π,2). 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. 知识点二　二面角及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 半平面：平面内的一条直线把一个平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面． 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线叫做二面角的_________，这两个半平面叫做二面角的_________． (2)二面角的表示 棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α­l­β. 如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A­l­B． 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 注意：二面角的取值范围是_________，当两个半平面重合时，理解为0；当两个半平面在同一平面内，且延伸方向相反时，理解为π. 3．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，设α1与α2所成角的大小为θ.如图①②所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉． eq \a\vs4\al(特别提醒) 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；而直线与平面的夹角范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). (2)设eq \o(AB,\s\up15(→))在平面α内的射影为eq \o(A′B′,\s\up15(→))，且直线AB与平面α的夹角为θ，则|eq \o(A′B′,\s\up15(→))|＝|eq \o(AB,\s\up15(→))|·cos θ. (3)平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．　　 1．已知二面角α­l­β等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于(　　) A．θ B．π－θ C．eq \f(π,2)－θ D．θ或π－θ D　[应考虑0≤θ≤eq \f(π,2)与eq \f(π,2)＜θ≤π两种情况．] 2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　 ) A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 A　[A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN， 则eq \o(MP,\s\up15(→))·eq \o(MN,\s\up15(→))＝(eq \o(MB1,\s\up15(→))＋eq \o(B1P,\s\up15(→)))·eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \o(MB1,\s\up15(→))·eq \o(MN,\s\up15(→))＋eq \o(B1P,\s\up15(→))·eq \o(MN,\s\up15(→))＝0， ∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.] 3．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝eq \f(1,2) AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A．eq \f(\r(6),6) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(2),3) C　[以A为坐标原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴， AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则A(0，0，0)，G(a，a，0)，C(0，2a，2a)，B(0，2a，0)， ∴eq \o(AG,\s\up15(→))＝(a，a，0)，eq \o(AC,\s\up15(→))＝(0，2a，2a)，eq \o(GB,\s\up15(→))＝(－a，a，0)． 设平面AGC的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AG,\s\up15(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up15(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,2ay＋2az＝0.)) 取z＝1，则x＝1，y＝－1，∴n＝(1，－1，1)． 设GB与平面AGC所成角为α， ∴sin α＝cos 〈eq \o(GB,\s\up15(→))，n〉＝eq \f(|\o(GB,\s\up15(→))·n|,|\o(GB,\s\up15(→))||n|)＝eq \f(|－2a|,\r(2)a·\r(3))＝eq \f(\r(6),3) . ∴GB与平面AGC所成角的正弦值为eq \f(\r(6),3) .] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_________． 解析：　建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)， 则eq \o(A1D,\s\up15(→))＝(2，0，－2)，eq \o(A1E,\s\up15(→))＝(0，2，－1)． 设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1D,\s\up15(→))＝0,n·\o(A1E,\s\up15(→))＝0))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2z＝0,2y－z＝0))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z,z＝2y)).令y＝1，得n＝(2，1，2)． 易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)， 则|cos〈n·m〉|＝eq \f(|n·m|,|n||m|)＝eq \f(2,3).由图可知二面角的余弦值为eq \f(2,3). 答案：　eq \f(2,3) 题型一　直线与平面所成的角 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq \r(2)a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角的大小为_________． [思路点拨]　方法一：向量法：作出AC1在平面ABB1A1内的射影，利用向量直接求解． 方法二：向量法： 建系→eq \a\vs4\al(求出相关,点的坐标)→eq \o(AC1,\s\up15(→))及平面ABB1A1 的法向量n的坐标→sin θ ＝|cos〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，n〉|→θ. 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，eq \r(2)a)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，B1(0，a，eq \r(2)a)． 方法一　如图，取A1B1的中点M，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))，连接AM，MC1，则eq \o(MC1,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，0，0))，eq \o(AB,\s\up15(→))＝(0，a，0)，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0，0，eq \r(2)a)． ∵eq \o(MC1,\s\up15(→))·eq \o(AB,\s\up15(→))＝0，eq \o(MC1,\s\up15(→))·eq \o(AA1,\s\up15(→))＝0， ∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1. ∴∠C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1所成的角． ∵eq \o(AC1,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))，eq \o(AM,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\r(2)a))， ∴eq \o(AC1,\s\up15(→))·eq \o(AM,\s\up15(→))＝0＋eq \f(a2,4)＋2a2＝eq \f(9a2,4). 又|eq \o(AC1,\s\up15(→))|＝ eq \r(\f(3a2,4)＋\f(a2,4)＋2a2)＝eq \r(3)a， |eq \o(AM,\s\up15(→))|＝ eq \r(\f(a2,4)＋2a2)＝eq \f(3a,2)， ∴cos〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，eq \o(AM,\s\up15(→))〉＝eq \f(\f(9a2,4),\r(3)a·\f(3a,2))＝eq \f(\r(3),2). ∴〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，eq \o(AM,\s\up15(→))〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法二　eq \o(AB,\s\up15(→))＝(0，a，0)，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0，0，eq \r(2)a)． 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·eq \o(AB,\s\up15(→))＝0且n·eq \o(AA1,\s\up15(→))＝0， ∴ay＝0且eq \r(2)az＝0，∴z＝y＝0，故n＝(1，0，0)为平面ABB1A1的一个法向量． 又eq \o(AC1,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，\r(2)a))， ∴cos〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，n〉＝eq \f(\o(AC1,\s\up15(→))·n,|\o(AC1,\s\up15(→))||n|)＝eq \f(－\f(\r(3),2)a·1,\r(3)a·|1|)＝－eq \f(1,2). 设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈eq \o(AC1,\s\up15(→))，n〉|＝eq \f(1,2)，∴θ＝30°， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 答案：　30° eq \a\vs4\al(方法技巧) 用向量法求线面角的步骤 (1)分析图形关系，建立空间直角坐标系； (2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n； (3)求出夹角〈a，n〉； (4)判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.　　 即时练1.(1)平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝AC＝2，AA1＝eq \r(6)，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2) 解析：　(1)l与α所成的角为a与b所成的角或其补角． 又cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，∴〈a，b〉＝60°. (2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝eq \f(π,2)，即AB⊥AC，以A为坐标原点，eq \o(AC,\s\up15(→))，eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(AA1,\s\up15(→))的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B1(0，2，eq \r(6))，C1(2，0，eq \r(6))，A1(0，0，eq \r(6))，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0，0，eq \r(6))，eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(0，2，eq \r(6))，eq \o(AC1,\s\up15(→))＝(2，0， eq \r(6))．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up15(→))＝0，,n·\o(AC1,\s\up15(→))＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋\r(6)z＝0，,2x＋\r(6)z＝0，))令x＝1，则y＝1，z＝－eq \f(\r(6),3)，所以n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－\f(\r(6),3))).设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，eq \o(AA1,\s\up15(→))〉|＝|eq \f(－2,\f(2\r(2),\r(3))\r(6))|＝eq \f(1,2)，所以θ＝eq \f(π,6). 答案：　(1)C　(2)A 题型二　二面角 如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，AB＝2AD． (1)求证：平面PAD⊥平面PBD； (2)求二面角A­PB­C的余弦值． [思路点拨]　(1)令AD＝1，求出BD＝eq \r(3)，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD． (2)以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A­PB­C的余弦值． 解析：　(1)证明：在平行四边形ABCD中，令AD＝1， 则BD＝ eq \r(AD2＋AB2－2×AD×AB×cos 60°)＝eq \r(3)， 在△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD， ∴平面PAD⊥平面PBD． (2)由(1)得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 令AD＝1，则A(1，0，0)，B(0，eq \r(3)，0)，C(－1，eq \r(3)，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))， eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \o(PB,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\r(3)，－\f(\r(3),2)))，eq \o(BC,\s\up15(→))＝(－1，0，0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))·n＝－x＋\r(3)y＝0,\o(PB,\s\up15(→))·n＝－\f(1,2)x＋\r(3)y－\f(\r(3),2)z＝0))，取y＝1，得n＝(eq \r(3)，1，1)， 设平面PBC的法向量m＝(a，b，c)， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(BC,\s\up15(→))＝－a＝0，,m·\o(PB,\s\up15(→))＝－\f(1,2)a＋\r(3)b－\f(\r(3),2)c＝0，))取b＝1，得m＝(0，1，2)， ∴|cos〈n，m〉|＝eq \f(|n·m|,|n|·|m|)＝eq \f(|1＋2|,\r(5)·\r(5))＝eq \f(3,5)， 由图形知二面角A­PB­C的平面角为钝角， ∴二面角A­PB­C的余弦值为－eq \f(3,5). eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．求二面角的方法 2．向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤 即时练2.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 解析：　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD． (2)因为四棱柱的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD为菱形， AC⊥BD．又O1O⊥底面ABCD， 所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝eq \r(3) ，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1(eq \r(3) ，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1即为平面DOB1，易知平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥eq \o(OB1,\s\up15(→))，m⊥eq \o(OC1,\s\up15(→))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋2z＝0，,y＋2z＝0.)) 取z＝－eq \r(3) ，则x＝2，y＝2eq \r(3) ，所以m＝(2，2eq \r(3) ，－eq \r(3) )， 所以cos 〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|) ＝eq \f(2\r(3),\r(19)) ＝eq \f(2\r(57),19) . 所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为eq \f(2\r(57),19) . 易错点　混淆二面角与面面角的大小 已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为_________． [正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)， 所以eq \o(BC,\s\up15(→))＝(0，2a，0)，eq \o(BP,\s\up15(→))＝(－a，0，a)， eq \o(CD,\s\up15(→))＝(－a，0，0)，eq \o(PD,\s\up15(→))＝(0，2a，－a)． 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ay1＝0，,－ax1＋az1＝0))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax2＝0，,2ay2－az2＝0.)) 取x1＝1，y2＝1，可得n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)， 则cos〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(\r(10),5)， 故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为eq \f(\r(10),5). 答案：　eq \f(\r(10),5) [易错探因]　本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B­PC­D，得到错解：求得cos〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(\r(10),5)后，观察图形知二面角B­PC­D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－eq \f(\r(10),5). 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不要将两者混淆了． $$