1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 位置向量 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 0 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [0，π] 相等 互补 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 题型四　求异面直线所成的角 　　　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(五) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]1．直线的方向向量.2．空间中两条直线所成的角． 知识点一　空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量_________唯一确定，此时，eq \o(OP,\s\up15(→))通常称为点P的_________．特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． eq \o(OP,\s\up15(→)) 知识点二　空间中的直线与空间向量 1．直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 2．利用直线的方向向量证明相关平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔ _________． (2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l⊂α⇔存在一对实数x，y，使v＝_________． v1∥v2 xv1＋yv2 知识点三　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则： (1)θ∈_________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) (2)如图(1)(2)所示，可以看出θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．特别地，sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. (3)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝eq \f(π,2)⇔v1·v2＝_________． 知识点四　异面直线与空间向量 异面直线所成的角取值范围是_________，两向量夹角的取值范围是_________，设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，由向量夹角的定义及求法知〈a，b〉与θ_________或 _________，∴cos θ＝_________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) eq \f(|a·b|,|a|·|b|) 1．空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(　　 ) A．平行　　　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 A　[∵eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－1，0，5)－(1，2，3)＝(－2，－2，2)， eq \o(CD,\s\up15(→))＝(4，1，3)－(3，0，4)＝(1，1，－1)， ∴eq \o(AB,\s\up15(→))＝－2(1，1，－1)＝－2eq \o(CD,\s\up15(→))，∴AB∥CD．] 2．下列各组向量中不平行的是(　　) A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40) D　[A项中，b＝－2a⇒a∥b；B项中，d＝－3c⇒d∥c；C项中，零向量与任何向量都平行；只有D项中两向量不平行．] 3．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长|eq \o(AB,\s\up15(→))|＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B． (－14，－19，17) C．(6，eq \f(7,2)，1) D．(－2，－eq \f(11,2)，13) A　[设B点坐标为 (x，y，z)，则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝λa(λ>0)，即 (x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)， 因为 |eq \o(AB,\s\up15(→))|＝34，即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.] 4．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2) C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq \f(15,2) D　[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb， 则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy， ∴x＝6，y＝eq \f(15,2).] 题型一　求直线的方向向量 (1)(2021·福州八中检测)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C．eq \f(3,2) D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_________，直线BC1的一个方向向量为_________． [思路点拨]　(1)由eq \o(AB,\s\up15(→))＝km，求y，z.(2)建立空间直角坐标系，求eq \o(AA1,\s\up15(→))、eq \o(AD1,\s\up15(→))，从而得DD1、DC1的方向向量． 解析：　(1)∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)， ∴eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设eq \o(AB,\s\up15(→))＝km. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝2k，,2－y＝－k，,z－3＝3k.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，,z＝\f(3,2).))∴y－z＝0. (2)因为DD1∥AA1，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1，eq \o(AD1,\s\up15(→))＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 答案：　(1)A　(2)(0，0，1)(0，1，1)(答案不唯一) 即时练1.若点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，7))在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(6，8，10)　　　 B．(1，3，2) C．(4，2，6) D．(3，2，1) A　[∵eq \o(AB,\s\up15(→))＝(3，4，5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，8，10))＝2(3，4，5)＝2eq \o(AB,\s\up15(→))，∴向量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，8，10))是直线l的一个方向向量．故选A．] 题型二　利用直线的方向向量证明平行关系 1．证明线线平行 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝eq \f(1,4)DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. [思路点拨]　 解析：　方法一　由题意可得eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \o(MD,\s\up15(→))＋eq \o(DN,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up15(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DE,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up15(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(DC,\s\up15(→))＋eq \o(DP,\s\up15(→)))＝eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up15(→))＋eq \f(1,4) eq \o(DC,\s\up15(→))＋eq \f(1,4) eq \o(DP,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \f(1,4) eq \o(DP,\s\up15(→))＝eq \f(1,4)(eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(DP,\s\up15(→)))＝eq \f(1,4) eq \o(AP,\s\up15(→))，又M∉AP，所以MN∥AP. 方法二　如图所示，以D为坐标原点，eq \o(DA,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DP,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)，0))，所以eq \o(AP,\s\up15(→))＝(－1，0，1)，eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，\f(1,4)))，所以eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(AP,\s\up15(→))，因为M∉AP，所以MN∥AP. eq \a\vs4\al(方法技巧) 证明线线平行的依据与思路 证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．　　 即时练2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则eq \o(AE,\s\up15(→))，eq \o(FC1,\s\up15(→))，eq \o(EC1,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))分别为直线AE，FC1，EC1，AF的方向向量，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，eq \f(1,2))，C1(0，1，1)，F(1，1，eq \f(1,2))， ∴eq \o(AE,\s\up15(→))＝(－1，0，eq \f(1,2))，eq \o(FC1,\s\up15(→))＝(－1，0，eq \f(1,2))，eq \o(EC1,\s\up15(→))＝(0，1，eq \f(1,2))，eq \o(AF,\s\up15(→))＝(0，1，eq \f(1,2))， ∴eq \o(AE,\s\up15(→))＝eq \o(FC1,\s\up15(→))，eq \o(EC1,\s\up15(→))＝eq \o(AF,\s\up15(→))， ∴eq \o(AE,\s\up15(→))∥eq \o(FC1,\s\up15(→))，eq \o(EC1,\s\up15(→))∥eq \o(AF,\s\up15(→))， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． 2．证明线面平行 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 解析：　方法一　如图，以D为原点，eq \o(DA,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DD1,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))， 于是eq \o(DA1,\s\up15(→))＝(1，0，1)，eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))， ∴eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DA1,\s\up15(→)). 又MN⊄平面A1BD， 故MN∥平面A1BD． 方法二　eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \o(C1N,\s\up15(→))－eq \o(C1M,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(C1B1,\s\up15(→))－eq \f(1,2) eq \o(C1C,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up15(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(DB,\s\up15(→))＋eq \o(BA,\s\up15(→)))－eq \f(1,2)(eq \o(A1B,\s\up15(→))＋eq \o(BA,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up15(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1B,\s\up15(→))， 即eq \o(MN,\s\up15(→))可用eq \o(A1B,\s\up15(→))与eq \o(DB,\s\up15(→))线性表示，故eq \o(MN,\s\up15(→))与eq \o(A1B,\s\up15(→))，eq \o(DB,\s\up15(→))是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD． eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用向量法证明线面平行的思路 (1)根据线面平行的判定定理(平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行)可知，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (2)建立空间直角坐标系，通过计算解决问题，该方法暂时有一定的局限性，在学习了后面的内容后，就会变得较易实现． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．　　 即时练3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1. 证明：　设eq \o(C1B1,\s\up15(→))＝a，eq \o(C1D1,\s\up15(→))＝b，eq \o(C1C,\s\up15(→))＝c， 因为四边形B1BCC1为平行四边形，所以eq \o(B1C,\s\up15(→))＝eq \o(B1B,\s\up15(→))＋eq \o(B1C1,\s\up15(→))＝c－a. 因为O是B1D1的中点， 所以eq \o(C1O,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(C1B1,\s\up15(→))＋eq \o(C1D1,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \o(OD1,\s\up15(→))＝eq \o(C1D1,\s\up15(→))－eq \o(C1O,\s\up15(→))＝b－eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(1,2)(b－a)． 因为eq \o(D1D,\s\up15(→))＝eq \o(C1C,\s\up15(→))，所以eq \o(D1D,\s\up15(→))＝c.所以eq \o(OD,\s\up15(→))＝eq \o(OD1,\s\up15(→))＋eq \o(D1D,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(b－a)＋c. 设存在实数x，y，使eq \o(B1C,\s\up15(→))＝xeq \o(OD,\s\up15(→))＋yeq \o(OC1,\s\up15(→))(x，y∈R)成立， 则c－a＝xeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(b－a)＋c))＋yeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)(a＋b))) ＝－eq \f(1,2)(x＋y)a＋eq \f(1,2)(x－y)b＋xc. 因为a，b，c不共面， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(x＋y)＝1，,\f(1,2)(x－y)＝0，,x＝1.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以eq \o(B1C,\s\up15(→))＝eq \o(OD,\s\up15(→))＋eq \o(OC1,\s\up15(→)). 所以eq \o(B1C,\s\up15(→))，eq \o(OD,\s\up15(→))，eq \o(OC1,\s\up15(→))是共面向量． 因为B1C不在OD，OC1所确定的平面ODC1内，所以B1C∥平面ODC1. 题型三　利用直线的方向向量证明垂直关系 1．证明线线垂直 如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝eq \f(1,4)CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：　方法一　设eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，eq \o(AC,\s\up15(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， eq \o(AB1,\s\up15(→))＝a＋c，eq \o(AM,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \o(AN,\s\up15(→))＝b＋eq \f(1,4)c，eq \o(MN,\s\up15(→))＝eq \o(AN,\s\up15(→))－eq \o(AM,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)c， ∴eq \o(AB1,\s\up15(→))·eq \o(MN,\s\up15(→))＝(a＋c)(－eq \f(a,2)＋eq \f(b,2)＋eq \f(c,4))＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cos 60°＋0－0＋0＋eq \f(1,4)＝0. ∴eq \o(AB1,\s\up15(→))⊥eq \o(MN,\s\up15(→))，∴AB1⊥MN. 方法二　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A(－eq \f(1,2)，0，0)，B(eq \f(1,2)，0，0)，C(0，eq \f(\r(3),2)，0)，N(0，eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,4))，B1(eq \f(1,2)，0，1)， ∵M为BC的中点，∴M(eq \f(1,4)，eq \f(\r(3),4)，0)． ∴eq \o(MN,\s\up15(→))＝(－eq \f(1,4)，eq \f(\r(3),4)，eq \f(1,4))，eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(1，0，1)， ∴eq \o(MN,\s\up15(→))·eq \o(AB1,\s\up15(→))＝－eq \f(1,4)＋0＋eq \f(1,4)＝0. ∴eq \o(MN,\s\up15(→))⊥eq \o(AB1,\s\up15(→))，∴AB1⊥MN. eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体有如下方法． (1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0. (2)基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.　　 即时练4.在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明：　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)． ∴eq \o(A1F,\s\up15(→))＝(－x，a，－a)，eq \o(C1E,\s\up15(→))＝(a，x－a，－a)． ∴eq \o(A1F,\s\up15(→))·eq \o(C1E,\s\up15(→))＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴eq \o(A1F,\s\up15(→))⊥eq \o(C1E,\s\up15(→))，即A1F⊥C1E. 2．证明线面垂直 (2018·浙江卷节选)如图，在多面体ABC­A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. 证明：AB1⊥平面A1B1C1. [思路点拨]　思路一(综合几何方法)先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到直线与平面垂直． 思路二(向量方法)建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示进行证明． 解析：　方法一　由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝2eq \r(2)，所以A1Beq \o\al(2,1)＋ABeq \o\al(2,1)＝AAeq \o\al(2,1)，所以AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝eq \r(5)， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝2eq \r(3)， 由CC1⊥AC，得AC1＝eq \r(13)， 所以ABeq \o\al(2,1)＋B1Ceq \o\al(2,1)＝ACeq \o\al(2,1)，所以AB1⊥B1C1. 又A1B1∩B1C1＝B1，故AB1⊥平面A1B1C1. 方法二　如图，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系O­xyz. 由题意知，A(0，－eq \r(3)，0)，A1(0，－eq \r(3)，4)，B1(1，0，2)，C1(0，eq \r(3)，1)． 因此eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(1，eq \r(3)，2)，eq \o(A1B1,\s\up15(→))＝(1，eq \r(3)，－2)，eq \o(A1C1,\s\up15(→))＝(0，2eq \r(3)，－3)． 由eq \o(AB1,\s\up15(→))·eq \o(A1B1,\s\up15(→))＝0得AB1⊥A1B1. 由eq \o(AB1,\s\up15(→))·eq \o(A1C1,\s\up15(→))＝0得AB1⊥A1C1. 又A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1. eq \a\vs4\al(方法技巧) 利用向量法证明线面垂直的方法 (1)基向量法，具体步骤如下． ①设出基向量，用基向量表示出直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示； ③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积； ④由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直． (2)坐标法，具体方法如下． ①建立空间直角坐标系； ②将直线的方向向量用坐标表示； ③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示； ④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积； ⑤由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直．　　 即时练5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 解析：　方法一　设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)． ∴eq \o(EF,\s\up15(→))＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)， eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)， eq \o(AC,\s\up15(→))＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)． ∵eq \o(EF,\s\up15(→))·eq \o(AB1,\s\up15(→))＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0， eq \o(EF,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC． 方法二　设eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，eq \o(AD,\s\up15(→))＝c，eq \o(AA1,\s\up15(→))＝b，连接BD，则eq \o(EF,\s\up15(→))＝eq \o(EB1,\s\up15(→))＋eq \o(B1F,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BB1,\s\up15(→))＋eq \o(B1D1,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up15(→))＋eq \o(BD,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up15(→))＋eq \o(AD,\s\up15(→))－eq \o(AB,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)， ∵eq \o(AB1,\s\up15(→))＝eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(AA1,\s\up15(→))＝a＋b， ∴eq \o(EF,\s\up15(→))·eq \o(AB1,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq \f(1,2)(b2－a2＋c·a＋c·b)＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0， ∴eq \o(EF,\s\up15(→))⊥eq \o(AB1,\s\up15(→))，即EF⊥AB1，同理可证EF⊥B1C． 又AB1∩B1C＝B1， ∴EF⊥平面B1AC． A．eq \f(\r(30),10) B．eq \f(\r(30),15) C．eq \f(\r(30),30) D．eq \f(\r(15),15) A　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)， ∴eq \o(B1M,\s\up15(→))＝(－1，－1，－2)， eq \o(D1N,\s\up15(→))＝(1，0，－2)， ∴cos〈eq \o(B1M,\s\up15(→))，eq \o(D1N,\s\up15(→))〉＝eq \f(－1＋4,\r(1＋1＋4)×\r(1＋4))＝eq \f(\r(30),10).] eq \a\vs4\al(方法技巧) 空间两条直线之间的夹角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，因此利用向量求两条异面直线所成的角时，应首先找出两条直线上的方向向量a，b，再利用公式cos θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)求解．　　 即时练6.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是(　　 ) A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,4) D．0 C　[以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，则 A1(0，－1，2)，B(eq \r(3)，0，0)，B1(eq \r(3)，0，2)，C(0，1，0)， eq \o(A1B,\s\up15(→))＝(eq \r(3)，1，－2)，eq \o(B1C,\s\up15(→))＝(－eq \r(3)，1，－2)， cos〈eq \o(A1B,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉＝eq \f(\o(A1B,\s\up15(→))·\o(B1C,\s\up15(→)),|\o(A1B,\s\up15(→))||\o(B1C,\s\up15(→))|)＝eq \f(2,2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).] 易错点　混淆两向量的夹角和两条直线的夹角 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值． [正解]　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(b，a，0)，D1(0，0，c)，B1(b，a，c)，C(0，a，0)，则eq \o(BD1,\s\up15(→))＝(－b，－a，c)，eq \o(B1C,\s\up15(→))＝(－b，0，－c)， 从而cos〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉＝eq \f(\o(BD1,\s\up15(→))·\o(B1C,\s\up15(→)),|\o(BD1,\s\up15(→))||\o(B1C,\s\up15(→))|)＝eq \f(b2－c2,\r(a2＋b2＋c2)·\r(b2＋c2)). (1)当c<b时，cos〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉>0，这时〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉是锐角，则〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉即异面直线BD1和B1C所成的角； (2)当c>b时，cos〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉<0，这时〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉是钝角，则〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉的补角π－〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉即异面直线BD1和B1C所成的角； (3)当c＝b时，cos〈eq \o(BD1,\s\up15(→))，eq \o(B1C,\s\up15(→))〉＝0，这时异面直线BD1和B1C所成的角为90°. 综上，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为eq \f(|b2－c2|,\r(a2＋b2＋c2)·\r(b2＋c2)) . [易错探因]　本题容易出错的地方是：误把两向量eq \o(BD1,\s\up15(→))和eq \o(B1C,\s\up15(→))的夹角看作异面直线所成的角．事实上，异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，其余弦值应具有非负性． [误区警示]　异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，余弦值为非负数，而向量夹角的范围是[0，π]，所以如果求出的向量夹角为锐角(或余弦值为正)，则向量夹角就是异面直线所成的角；如果求出的向量夹角为直角(或余弦值为零)，则异面直线所成的角为eq \f(π,2)；如果求出的向量夹角为钝角(或余弦值为负)，则其补角即异面直线所成的角，余弦值取绝对值即可． $$