1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 两两垂直 单位正交基底 (x，y，z) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 原点 垂直 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 坐标轴 坐标平面 逆时针 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 表示这个空间向量的有 向线段的终点坐标减去始点坐标 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(四) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 [课标解读]1．空间向量的坐标表示.2．空间向量运算的坐标表示． 知识点一　空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量_______________，就称这组基底为_______________；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作：p＝_________． 其中，x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点二　空间向量的运算与坐标的关系 1．空间向量的坐标运算法则 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R) 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) 2．空间向量长度公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，则|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2)＝2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)＋zeq \o\al(2,1)) ，即|a|＝2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)＋zeq \o\al(2,1)) . 3．空间向量夹角公式的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则 cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝________________________ . 2,1)eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋yeq \o\al(2,1)＋zeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＋zeq \o\al(2,2))) eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝eq \f(z2,z1) 知识点三　空间向量平行与垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 1．向量平行的坐标表示 a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝_________，,y2＝_________，,z2＝_________.)) 当a与三个坐标平面都不平行时，a∥b⇔_________． 2．向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. λx1 λy1 λz1 知识点四　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标_________，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面_________的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作O­xyz. 在空间直角坐标系O­xyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为_________；通过每两个坐标轴的平面都称为_________，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿_________方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 注意：在平面内画空间直角坐标系O­xyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图所示． 2．空间直角坐标系中点的坐标 如图，过点M(x，y，z)作面xOy的垂线，垂足为M′，在面xOy中，过点M′分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝M′C，|y|＝AM′，|z|＝MM′，x，y，z的符号视点M的位置而定，在写点M的坐标时，三个数字之间的顺序不可颠倒． 这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 3．卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八部分，习惯上，每一部分都称为一个卦限．按逆时针方向，在坐标平面xOy上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限(如图)．在不同卦限内，点的坐标的各分量的符号是有所不同的，例如在第Ⅰ卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第Ⅱ卦限，x为负数，y，z都为正数…… 知识点五　空间向量坐标的应用 1．空间直角坐标系中两点之间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝_________________________， |eq \o(AB,\s\up15(→))|＝_________________________________． 空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于____________________ _________________________________． (x2－x1，y2－y1，z2－z1) eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2) 2．空间直角坐标系中的中点坐标公式 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则M的坐标为 _________________________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))) 1．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且eq \o(AB,\s\up15(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 D　[向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．] 2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　 ) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) D　[4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)， ∴4a＋2b＝(8，0，4)．] 3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　 ) A．1　　　 B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,5)　　　 D．eq \f(7,5) D　[ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)， 且(ka＋b)(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq \f(7,5).] 4．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_________． 解析：　因为a·b＝2x＋2×(－3)＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) <0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.因为a，b不会反向共线，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)． 答案：　(－∞，－2) 题型一　空间直角坐标系及坐标表示 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量eq \o(BN,\s\up15(→))，eq \o(BA1,\s\up15(→))，eq \o(A1B,\s\up15(→))的坐标． [思路点拨]　以点C为原点，分别以eq \o(CA,\s\up15(→))，eq \o(CB,\s\up15(→))，eq \o(CC1,\s\up15(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，eq \o(BA1,\s\up15(→))，eq \o(A1B,\s\up15(→))分别用eq \o(CA,\s\up15(→))，eq \o(CB,\s\up15(→))，eq \o(CC1,\s\up15(→))表示出来，再写出它们的坐标． 解析：　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以C为原点，eq \o(CA,\s\up15(→))，eq \o(CB,\s\up15(→))，eq \o(CC1,\s\up15(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴eq \o(BN,\s\up15(→))＝eq \o(AN,\s\up15(→))－eq \o(AB,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up15(→))＋eq \o(CA,\s\up15(→))－eq \o(CB,\s\up15(→))＝eq \o(CA,\s\up15(→))－eq \o(CB,\s\up15(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up15(→))，∴eq \o(BN,\s\up15(→))的坐标为(1，－1，1)， 而eq \o(BA1,\s\up15(→))＝eq \o(CA1,\s\up15(→))－eq \o(CB,\s\up15(→))＝eq \o(CA,\s\up15(→))－eq \o(CB,\s\up15(→))＋eq \o(CC1,\s\up15(→))， ∴eq \o(BA1,\s\up15(→))的坐标为(1，－1，2)． 又∵eq \o(A1B,\s\up15(→))＝－eq \o(BA1,\s\up15(→))，∴eq \o(A1B,\s\up15(→))的坐标为(－1，1，－2)． 法二：建系同法一，则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴eq \o(BN,\s\up15(→))＝(1，－1，1)，eq \o(BA1,\s\up15(→))＝(1，－1，2)，eq \o(A1B,\s\up15(→))＝(－1，1，－2)． eq \a\vs4\al(方法技巧) 用坐标表示空间向量的步骤 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up15(→))＝i， eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up15(→))＝j，eq \f(1,4) eq \o(AA1,\s\up15(→))＝k， eq \o(AB,\s\up15(→))＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， eq \o(AC1,\s\up15(→))＝eq \o(AA1,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→))＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ∴eq \o(BC1,\s\up15(→))＝eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(CC1,\s\up15(→))＝eq \o(BA,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CC1,\s\up15(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)． 题型二　空间向量的坐标运算 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_________． (2)在△ABC中，A(2，－5，3)，eq \o(AB,\s\up15(→))＝(4，1，2)，eq \o(BC,\s\up15(→))＝(3，－2，5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求eq \o(CA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))； ③若点P在AC上，且eq \o(AP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up15(→))，求点P的坐标． [思路点拨]　根据相应的空间向量坐标运算法则进行计算即可． 解析：　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以eq \o(AB,\s\up15(→))＝(x－2，y＋5，z－3)， eq \o(BC,\s\up15(→))＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为eq \o(AB,\s\up15(→))＝(4，1，2)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝4，,y＋5＝1，,z－3＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－4，,z＝5，)) 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为eq \o(BC,\s\up15(→))＝(3，－2，5)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－6＝3，,y1＋4＝－2，,z1－5＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝9，,y1＝－6，,z1＝10，)) 所以点C的坐标为(9，－6，10)． ②因为eq \o(CA,\s\up15(→))＝(－7，1，－7)，eq \o(BC,\s\up15(→))＝(3，－2，5)， 所以eq \o(CA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)， 则eq \o(AP,\s\up15(→))＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， eq \o(PC,\s\up15(→))＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝eq \f(1,2)(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2＝\f(1,2)(9－x2)，,y2＋5＝\f(1,2)(－6－y2)，,z2－3＝\f(1,2)(10－z2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(13,3)，,y2＝－\f(16,3)，,z2＝\f(16,3)，)) 故点P的坐标为(eq \f(13,3)，－eq \f(16,3)，eq \f(16,3))． 答案：　(1)－4 eq \a\vs4\al(方法技巧) 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以先求出a＋b，a－b，然后求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． (3)向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解．解题时应恰当选择解题方法． (4)掌握空间向量坐标运算的法则是解这类题的关键，空间向量坐标运算的法则和平面向量类似，可类比记忆．　　 即时练2.(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝_________． (2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标． ①eq \o(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))－eq \o(AC,\s\up15(→)))；②eq \o(AP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))－eq \o(AC,\s\up15(→)))． 解析：　(1)c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2. (2)eq \o(AB,\s\up15(→))＝(2，6，－3)，eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－4，3，1)． ①eq \o(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))－eq \o(AC,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(6，3，－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2)). ②设P(x，y，z)，则eq \o(AP,\s\up15(→))＝(x－2，y＋1，z－2)． ∵eq \o(AP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))－eq \o(AC,\s\up15(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2，)) 解得x＝5，y＝eq \f(1,2)，z＝0，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)). 答案：　(1)2 题型三　空间向量的平行与垂直 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝eq \o(AB,\s\up15(→))，b＝eq \o(AC,\s\up15(→)). (1)若|c|＝3，c∥eq \o(BC,\s\up15(→))，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [思路点拨]　(1)根据c∥eq \o(BC,\s\up15(→))，设c＝λeq \o(BC,\s\up15(→))，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 解析：　(1)∵eq \o(BC,\s\up15(→))＝(－2，－1，2)且c∥eq \o(BC,\s\up15(→))， ∴设c＝λeq \o(BC,\s\up15(→))＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝eq \r((－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2)＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，1，0)，b＝eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－eq \f(5,2). eq \a\vs4\al(方法技巧) 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否等于0，判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．　　 即时练3.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝eq \r(2)，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. 证明：　(1)设AC与BD交于点G，连接EG. 因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝eq \f(1,2)AC＝1， 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD． 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C­xyz. 则C(0，0，0)，A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0，0)，E(0，0，1)，F(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，1)． 所以eq \o(CF,\s\up15(→))＝(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，1)， eq \o(BE,\s\up15(→))＝(0，－eq \r(2)，1)，eq \o(DE,\s\up15(→))＝(－eq \r(2)，0，1)． 所以eq \o(CF,\s\up15(→))·eq \o(BE,\s\up15(→))＝0－1＋1＝0，eq \o(CF,\s\up15(→))·eq \o(DE,\s\up15(→))＝－1＋0＋1＝0， 所以eq \o(CF,\s\up15(→))⊥eq \o(BE,\s\up15(→))，eq \o(CF,\s\up15(→))⊥eq \o(DE,\s\up15(→))， 即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 所以CF⊥平面BDE. 题型四　空间向量的夹角与长度问题 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. [思路点拨]　eq \x(建系C－xyz)→eq \x(得各点的坐标)→ eq \x(数量积运算)→eq \x(夹角、长度公式)→eq \x(几何结论) 解析：　(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴|eq \o(BN,\s\up15(→))|＝ eq \r((1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2)＝eq \r(3)， ∴线段BN的长为eq \r(3). (2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴eq \o(BA1,\s\up15(→))＝(1，－1，2)，eq \o(CB1,\s\up15(→))＝(0，1，2)， ∴eq \o(BA1,\s\up15(→))·eq \o(CB1,\s\up15(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|eq \o(BA1,\s\up15(→))|＝eq \r(6)，|eq \o(CB1,\s\up15(→))|＝eq \r(5). ∴cos〈eq \o(BA1,\s\up15(→))，eq \o(CB1,\s\up15(→))〉＝eq \f(\o(BA1,\s\up15(→))·\o(CB1,\s\up15(→)),|\o(BA1,\s\up15(→))||\o(CB1,\s\up15(→))|)＝eq \f(\r(30),10). 故A1B与B1C所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10). (3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)， N(1，0，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))， ∴eq \o(C1M,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq \o(C1N,\s\up15(→))＝(1，0，－1)， eq \o(BN,\s\up15(→))＝(1，－1，1)， ∴eq \o(C1M,\s\up15(→))·eq \o(BN,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×(－1)＋0×1＝0， eq \o(C1N,\s\up15(→))·eq \o(BN,\s\up15(→))＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴eq \o(C1M,\s\up15(→))⊥eq \o(BN,\s\up15(→))，eq \o(C1N,\s\up15(→))⊥eq \o(BN,\s\up15(→))， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN， ∴BN⊥平面C1MN. eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　 即时练4.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝eq \f(1,4)CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 解析：　如图，以D为原点，eq \o(DA,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→))，eq \o(DD1,\s\up15(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系D­xyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，F(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))，C1(0，1，1)，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))， (1)证明：eq \o(EF,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \o(B1C,\s\up15(→))＝(－1，0，－1)， ∴eq \o(EF,\s\up15(→))·eq \o(B1C,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))·(－1，0，－1)＝0， ∴EF⊥B1C． (2)∵eq \o(C1G,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))， ∴eq \o(EF,\s\up15(→))·eq \o(C1G,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))＝eq \f(3,8)， |eq \o(EF,\s\up15(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)， |eq \o(C1G,\s\up15(→))|＝ eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))\s\up12(2)＋(－1)2)＝eq \f(\r(17),4)， ∴cos〈eq \o(EF,\s\up15(→))，eq \o(C1G,\s\up15(→))〉＝eq \f(\f(3,8),\f(\r(3),2)×\f(\r(17),4))＝eq \f(\r(51),17)， ∴EF与C1G所成角的余弦值是eq \f(\r(51),17). (3)∵eq \o(FH,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2)))， ∴|eq \o(FH,\s\up15(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(41),8). 易错点　对空间向量的夹角概念理解不清 已知向量a＝(5，3，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，若a 与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围． [正解]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))) ＝3t－eq \f(52,5)， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－eq \f(52,5)<0，所以t<eq \f(52,15). 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5，3，1)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝λ(－2)，,3＝λt，,1＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))，))所以t＝－eq \f(6,5)， 故t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(52,15))). [错解]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))) ＝3t－eq \f(52,5)， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－eq \f(52,5)<0，所以t<eq \f(52,15). [错因]　a，b的夹角为钝角与a·b<0并不等价，a·b<0中包含着〈a，b〉＝180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|，即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b>0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除． $$