1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第一章 空间向量与立体几何 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第2课时　空间向量的数量积 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 新知形成 夯实基础 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 〈a，b〉 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 π 垂直 a⊥b 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 (a·b) (λb) b·a a·b＋a·c 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 |a||a|cos〈a，a〉 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 合作探究 素能提升 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 易错精析 矫正思维 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 课 时 精 练(二) 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 谢谢观看！ 第一章　空间向量与立体几何 新 知 形 成 合 作 探 究 数 学 选择性必修 第一册 B 易 错 精 析 课 时 精 练 知识点一　空间向量的夹角 1．夹角的定义 空间中，给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作_________． 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝_________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，两向量_________，记作_________． 知识点二　空间向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝_____________________． 2．数量积的运算律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ_________＝a·_________ 交换律 a·b＝_________ 分配律 a·(b＋c)＝_________ 3.空间两向量的数量积的性质： 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：则a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝_____________________＝|a|2 |a|＝eq \r(a·a) |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b(a，b是非零向量)的夹角，则cos θ＝_________ eq \f(a·b,|a||b|) eq \a\vs4\al(特别提醒) 对空间向量的数量积的理解 (1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零； (2)a·b＝0⇔a⊥b(a、b为非零向量)； (3)向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同； (4)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的数量|b|cos θ的乘积． (5)规定零向量与任意向量的数量积为0.　　 1．(多选)下列各命题中，一定是正确命题的有(　　) A．eq \r(a·a)＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a ABC　[因为a·a＝|a|2， 所以eq \r(a·a)＝|a|，故A正确； m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确； a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故D不一定正确．故选ABC．] 2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，eq \o(AD,\s\up15(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up15(→))＝c，则〈eq \o(A′B,\s\up15(→))，eq \o(B′D′,\s\up15(→))〉等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D　[△B′D′C是等边三角形，〈eq \o(A′B,\s\up15(→))，eq \o(B′D′,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(D′C,\s\up15(→))，eq \o(B′D′,\s\up15(→))〉＝120°.] 3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(A′C′,\s\up15(→)) B．eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(C′A′,\s\up15(→)) C．eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(A′D′,\s\up15(→)) D．eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(B′A′,\s\up15(→)) B　[〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(A′C′,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(AC,\s\up15(→))〉＝45°， 〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(C′A′,\s\up15(→))〉＝180°－〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(AC,\s\up15(→))〉＝135°， 〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(A′D′,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(AD,\s\up15(→))〉＝90°，〈eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(B′A′,\s\up15(→))〉＝180°.] 4．设a⊥b，〈a，c〉＝eq \f(π,3)，〈b，c〉＝eq \f(π,6)，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是_________． 解析：　因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋1×3×\f(1,2)＋2×3×\f(\r(3),2)))＝17＋6eq \r(3)， 所以|a＋b＋c|＝eq \r(17＋6\r(3)). 答案：　eq \r(17＋6\r(3)) 题型一　空间向量数量积的运算 已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求： (1)eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OB,\s\up15(→))； (2)(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→)))·(eq \o(CA,\s\up15(→))＋eq \o(CB,\s\up15(→)))． [思路点拨]　求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后根据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角．如〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OB,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OB,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝60°，易错认为〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OB,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OB,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝120°. 解析：　在正四面体OABC中，|eq \o(OA,\s\up15(→))|＝|eq \o(OB,\s\up15(→))|＝|eq \o(OC,\s\up15(→))|＝1. 〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OB,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝〈eq \o(OB,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))〉＝60°. (1)eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OB,\s\up15(→))＝|eq \o(OA,\s\up15(→))||eq \o(OB,\s\up15(→))|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2). (2)(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→)))·(eq \o(CA,\s\up15(→))＋eq \o(CB,\s\up15(→))) ＝(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→)))·(eq \o(OA,\s\up15(→))－eq \o(OC,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))－eq \o(OC,\s\up15(→))) ＝(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→)))·(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))－2eq \o(OC,\s\up15(→))) ＝eq \o(OA,\s\up15(→))2＋2eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OB,\s\up15(→))－2eq \o(OA,\s\up15(→))·eq \o(OC,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))2－2eq \o(OB,\s\up15(→))·eq \o(OC,\s\up15(→)) ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 即时练1.(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \o(AE,\s\up15(→))·eq \o(AF,\s\up15(→))＝_________． (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \o(OG,\s\up15(→))·(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→)))＝_________． 解析：　(1)eq \o(AE,\s\up15(→))·eq \o(AF,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\o(AC,\s\up15(→))))·eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→))·eq \o(AD,\s\up15(→))) ＝eq \f(1,4)(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝eq \f(1,4)a2. (2)eq \o(OG,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(AG,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)[eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→)))]＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)[(eq \o(OB,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→)))＋(eq \o(OC,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→)))]＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up15(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up15(→)). ∴eq \o(OG,\s\up15(→))·(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up15(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up15(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up15(→))))·(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→))) ＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up15(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up15(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up15(→))2 ＝eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×12＝eq \f(14,3). 答案：　(1)eq \f(1,4)a2　(2)eq \f(14,3) 题型二　用数量积解决夹角问题 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1. 求cos〈eq \o(CE,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))〉． [思路点拨]　首先求|eq \o(CE,\s\up15(→))|，|eq \o(AF,\s\up15(→))|，eq \o(CE,\s\up15(→))·eq \o(AF,\s\up15(→))，然后利用数量积的性质求余弦值． 解析：　∵|eq \o(CE,\s\up15(→))|＝2,1)eq \r(C1E2＋CC) ＝ eq \r(\f(1,4)＋1)＝eq \f(\r(5),2)＝|eq \o(AF,\s\up15(→))|， ∴eq \o(CE,\s\up15(→))·eq \o(AF,\s\up15(→))＝|eq \o(CE,\s\up15(→))||eq \o(AF,\s\up15(→))|cos〈eq \o(CE,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))〉＝eq \f(5,4)cos〈eq \o(CE,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))〉． 又∵eq \o(CE,\s\up15(→))＝eq \o(CC1,\s\up15(→))＋eq \o(C1E,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))＝eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(DF,\s\up15(→))， ∴eq \o(CE,\s\up15(→))·eq \o(AF,\s\up15(→))＝(eq \o(CC1,\s\up15(→))＋eq \o(C1E,\s\up15(→)))·(eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(DF,\s\up15(→))) ＝eq \o(CC1,\s\up15(→))·eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(C1E,\s\up15(→))·eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(CC1,\s\up15(→))·eq \o(DF,\s\up15(→))＋eq \o(C1E,\s\up15(→))·eq \o(DF,\s\up15(→)) ＝|eq \o(CC1,\s\up15(→))||eq \o(DF,\s\up15(→))|＝1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). ∴cos〈eq \o(CE,\s\up15(→))，eq \o(AF,\s\up15(→))〉＝eq \f(\o(CE,\s\up15(→))·\o(AF,\s\up15(→)),|\o(CE,\s\up15(→))|·|\o(AF,\s\up15(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(2,5). eq \a\vs4\al(方法技巧) (1)由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解． (2)利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cos θ＝|cos〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．　　 即时练2. 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，求异面直线AE与A1C所成的角． 解析：　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC． ∵AC＝AB＝eq \r(2)，BC＝2，∴AB⊥AC． 又BC＝2AE＝2， ∴E为BC的中点，∴eq \o(AE,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→)))． ∵AC＝AA1＝eq \r(2)，∴A1C＝2. ∵eq \o(AE,\s\up15(→))·eq \o(A1C,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→)))·(eq \o(AC,\s\up15(→))－eq \o(AA1,\s\up15(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))2＝eq \f(1,2)×(eq \r(2))2＝1， ∴cos〈eq \o(AE,\s\up15(→))，eq \o(A1C,\s\up15(→))〉＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2)，∴〈eq \o(AE,\s\up15(→))，eq \o(A1C,\s\up15(→))〉＝60°， 即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 题型三　利用数量积证明空间垂直关系 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC．M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC． [思路点拨]　首先把向量eq \o(OG,\s\up15(→))和eq \o(BC,\s\up15(→))均用eq \o(OA,\s\up15(→))、eq \o(OB,\s\up15(→))、eq \o(OC,\s\up15(→))表示出来，通过证明eq \o(OG,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝0来证明OG⊥BC． 解析：　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，eq \o(OC,\s\up15(→))＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又eq \o(OG,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up15(→))＋eq \o(ON,\s\up15(→))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up15(→))＋\o(OC,\s\up15(→))))))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)，eq \o(BC,\s\up15(→))＝c－b. ∴eq \o(OG,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b) ＝eq \f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝eq \f(1,4)(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴eq \o(OG,\s\up15(→))⊥eq \o(BC,\s\up15(→))，即OG⊥BC． eq \a\vs4\al(方法技巧) 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.　　 即时练3.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．求证：CA1⊥B1D1. 证明：　设eq \o(CD,\s\up15(→))＝a，eq \o(CB,\s\up15(→))＝b，eq \o(CC1,\s\up15(→))＝c， 则eq \o(CA1,\s\up15(→))＝eq \o(CD,\s\up15(→))＋eq \o(DA,\s\up15(→))＋eq \o(AA1,\s\up15(→))＝a＋b＋c， eq \o(B1D1,\s\up15(→))＝eq \o(BD,\s\up15(→))＝eq \o(CD,\s\up15(→))－eq \o(CB,\s\up15(→))＝a－b， ∴eq \o(CA1,\s\up15(→))·eq \o(B1D1,\s\up15(→))＝(a＋b＋c)(a－b)＝ |a|2－a·b＋a·b－|b|2＋c·a－c·b. 又∵四边形ABCD为菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD， ∴eq \o(CA1,\s\up15(→))·eq \o(B1D1,\s\up15(→))＝0.∴CA1⊥B1D1. 题型四　用数量积求两点间距离 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． [思路点拨]　 解析：　∵∠ACD＝90°，∴eq \o(AC,\s\up15(→))·eq \o(CD,\s\up15(→))＝0. 同理可得eq \o(AC,\s\up15(→))·eq \o(BA,\s\up15(→))＝0. ∵AB与CD成60°角， ∴〈eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))〉＝60°或〈eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))〉＝120°. 又eq \o(BD,\s\up15(→))＝eq \o(BA,\s\up15(→))＋eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CD,\s\up15(→))， ∴|eq \o(BD,\s\up15(→))|2＝|eq \o(BA,\s\up15(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up15(→))|2＋|eq \o(CD,\s\up15(→))|2＋2eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))＋2eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(CD,\s\up15(→))＋2eq \o(AC,\s\up15(→))·eq \o(CD,\s\up15(→)) ＝3＋2×1×1×cos〈eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))〉 ∴当〈eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))〉＝60°时，|eq \o(BD,\s\up15(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2； 当〈eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))〉＝120°时，|eq \o(BD,\s\up15(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq \r(2). eq \a\vs4\al(方法技巧) 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离．　　 即时练4.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长． 解析：　∵eq \o(PC,\s\up15(→))＝eq \o(PA,\s\up15(→))＋eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(DC,\s\up15(→))，AD＝4，CD＝3，PA＝6， ∠D＝60°， ∴|eq \o(PC,\s\up15(→))|2＝eq \o(PC,\s\up15(→))·eq \o(PC,\s\up15(→))＝(eq \o(PA,\s\up15(→))＋eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(DC,\s\up15(→)))2＝|eq \o(PA,\s\up15(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up15(→))|2＋|eq \o(DC,\s\up15(→))|2＋2(eq \o(PA,\s\up15(→))·eq \o(AD,\s\up15(→))＋eq \o(AD,\s\up15(→))·eq \o(DC,\s\up15(→))＋eq \o(PA,\s\up15(→))·eq \o(DC,\s\up15(→)))＝62＋42＋32＋2×4×3cos 120°＝49， ∴|eq \o(PC,\s\up15(→))|＝7.即PC的长为7. 易错点　向量夹角的范围 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的_________条件． [正解]　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件． [错解]　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)<0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件． [错因]　两个向量的夹角为钝角会误以为只要满足数量积小于零即可，而忽略当两个向量共线且反向时数量积也小于零．同理由向量的数量积大于零而判断夹角为锐角时，是忽略了向量共线且同向的情形． $$