押题06 第18题 数列（九大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）

押题06 第18题 数列（九大题型） 1．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 2．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 3．（2020·江苏·高考真题）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列． （1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 押题06 数列 高考模拟题型分布表 题型序号 题型内容 题号 题型1 存在性问题 1-3 题型2 证明不等式 4-7 题型3 数列与函数 8-9 题型4 求参数范围 10-12 题型5 数列与集合 13-14 题型6 数列与统计概率 15-16 题型7 数列与导数 17 题型8 数列与导数、统计概率综合 18 题型9 新定义数列 19 题型1：存在性问题 1．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 2．（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为． (1)求出与的通项公式； (2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由． 3．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，． (1)已知， ①若，求； ②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围； (2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由． 题型2：证明不等式 4．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 5．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 6．（23-24高二上·上海·期末）定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列． (1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由； (2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列； (3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：． 7．（2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 题型3：数列与函数 8．（2024·吉林·二模）已知数列, (1)求. (2)求的通项公式； (3)设的前项和为,若,求. 9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围； (3)，求数列的前项和． 题型4：求参数范围 10．（2023·全国·模拟预测）已知数列中，，且，为其前项的和． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小正整数的值； (3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围． 11．（20-21高一下·四川成都·阶段练习）已知数列满足，，其中. (1)设，求证：数列是等差数列. (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和. (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 12．（22-23高三上·天津东丽·期末）若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 题型5：数列与集合 13．（2024·黑龙江·二模）已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为. ①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值； ②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所