专题06 期中解答压轴题-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期中真题分类汇编（沪教版2020选择性必修第一册，上海专用）

专题06 期中解答压轴题 题型1：圆锥曲线——面积问题 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线与交于，两点. (1)求椭圆的方程; (2)若且点P的坐标为，求直线l的斜率； (3)若其中为坐标原点，求面积的最大值. 2．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知直线与椭圆有且只有一个公共点. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当椭圆，的离心率相等时，称曲线为“猫眼曲线”    (1)求椭圆的方程； (2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，试问：是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； (3)若斜率为的直线l为椭圆的切线，且交椭圆于点A，B，N为椭圆上的任意一点（点N与点A，B不重合），求面积的最大值． 题型2：圆锥曲线——取值范围问题 4．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值； (3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围. 题型3：圆锥曲线——定值问题 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上.过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由. (3)点，直线交直线于点.设直线、的斜率分别、，求证：为定值. 7．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 8．（23-24高三上·上海青浦·期中）设，已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，把合称为曲线. (1)若的离心率为，求的离心率； (2)若，为上一动点， 为定点， 求的最小值; (3)若，为上一动点， 为上一动点，且，问是否为定值?如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 题型4：圆锥曲线——定点问题 9．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)计算的值； (3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； 10．（22-23高三下·上海虹口·期中）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点. (1)求曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点. 题型5：圆锥曲线——最值问题 11．（20-21高二上·上海浦东新·期末）如图，已知半圆C1：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．    (1)求实数a、b的值； (2)直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积； (3)设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值． 12．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 题型6：圆锥曲线——向量问题 13．（18-19高二下·上海普陀·期中）已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于