专题二 比大小问题讲义-2024届高三数学二轮专题

( 1 1 − x ) 专题二 比较数与式的大小 株洲市集体大备课项目--- 高三数学复习资料（2024 年） 1 学科网（北京）股份有限公司 一、知识梳理 常用放缩：ex 之 x +1 ，ln x < x −1 ，x 之 sin x 放缩结论补充 1：不等式ex −1 > tan x > x > ln(x +1) ，xe(0,1) 放缩结论补充 2：ex < 1 , xe(−伪,1) 1 − x 对于ex −1 之 x，该不等式在 R 上恒成立， 若令x =−x ，则有 e− x −1 之 −x 牵 1 ex 之 1− x ，当 x < 1 时，不等式两边同乘 ex , 则有 1 − x 最后得出x +1 < ex < ，xe(−伪,1) 放缩结论补充 3： < ln x 之 ex ， 对于x −1 之 ln x ，令 x = 1 ，则有 1 −1 之 ln 1 牵 1 − x 之 − ln x ，可得 x −1 < ln x . x x x x x 二、重点题型 题型一 找中间数， 作差，作图 例 1（1）已知a = log5 2 ，b = log8 3 ，c = ，则下列判断正确的是( ) A. c < b < a B. b < a < c C. a < c < b D. a < b < c 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较 a 、b 与 c 的大小关系， 由此可得出结论. 2 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 ) ( 1 )【详解】 a = log5 2 < log5 = = log8 2 < log8 3 = b，即 a < c < b . (2)已知a = 1.01ln(ln1.01) − (ln1.01)ln1.01 ，b = sin(ln(1+ cos1.01)) ，c = etan(sin1.01)+1 ，则 a ，b ，c 的大 小关系为( ) A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b 【答案】A a = 0 < b < 1 < c 【分析】本题考查指对的转化和利用中间值比较大小，为较难题. 【解答】令t = ln1.01 ，则1.01 = et ，可得a = 1.01ln(ln1.01) − (ln1.01)ln1.01 = etln t − tt = 0 ， ∵ π < 1.01 < π , 1 < cos1.01 < ， < sin1.01 < $ ， 4 3 2 2 2 2 ∴1 + cos1.01= , ， ∴ ln(1 + cos1.01) =ln , ln ， ∴ 0 < b < 1，又 c = etan(sin1.01)+1 > e，可知a < b < c （3）已知a = 30.2 ，b = log6 7 ，c = log5 6 ，则( ) A. a > b > c B. b > c > a C. a > c > b D. b > a > c 【答案】C 【详解】①判断 b 、c 法：分离 1 再结合图像b −1 = log6 ，c −1 = log5 ， ②比较 与 c ( 6 ln 6 ln 5 ln 6 )要证 > ，即证 > 5 ln 5 5 6 令f (x) = ln x ，求导可得f ,(x) = 1 − x ，故 f (5) > f (6) 牵 ln 5 > ln 6 牵 6 > ln 6 x x2