专题一 函数的零点 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

株洲市集体大备课项目---高三数学复习资料（2024 年） 专题一 函数的零点 一、目标解读 函数的零点即方程的根，在研究过程中要学会相互转化， 其主要考点为零点存在的 判断与证明， 零点个数的判断， 零点存在下求参数的取值范围， 数形结合思想、分类讨 论思想和转化思想是思考解答此题的重要数学思想，其在高考题中常以中难等级的题出 现， 研究此类题必须熟练掌握基本函数的图像与性质， 函数图像的变换，零点存在原理 的内涵， 并能区分各个方法之间的适用范围。 二、 问题探究 考点 1 函数零点个数的判断或求参数范围 问题 1 ．已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)，对任意 x 都满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1=x=1 时，f(x) ＝2x2 ，则函数 g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为( ) A.12 B.14 C.15 D.16 【分析】 切入点 令 g(x) ＝0，即 f(x) ＝ln|x|，问题转化为函数y＝f(x)的图象与函数y ＝ln|x|图象的交 点个数问题 障碍点 利用函数值的大小判断函数y ＝ln|x|与y＝f(x)是否有交点，准确作出y＝f(x)与y = ln|x|的大致图象即可 【详解】 ∵f(x＋2)＝f(x) ， ∴函数y＝f(x)是周期为 2 的周期函数. 令 g(x)＝f(x)－ln|x| ＝0，则f(x) ＝ln|x|， 由题意得函数 g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数 y＝f(x)的图象与函数 y ＝ln|x|的图象 交点的个数. 当－1=x=1 时，f(x) ＝2x2， 在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和函数y ＝ln|x|的图象(如图所示)， 结合图象可得两函数的图象有 14 个交点， ∴函数 g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为 14. [答案] B 株洲市集体大备课项目---高三数学复习资料（2024 年） 问题 2 ．已知函数 f(x) ＝|3－2x－x2 |的图象和直线 2x＋ay＋7 ＝0 有三个交点，则 a = . 【详解】 由题设，2x＋ay＋7 ＝0 过定点－ ，0，f(x)关于直线 x ＝－ 1 对称，且在(-∞,-3)， (－1,1)上均单调递减， 在(－3，－1)， (1，+∞)上均单调递增， 它们的图象如图所示，要使 f(x)与直线有三个交点，只需 y = -x2－2x＋3 与 2x＋ay＋7 ＝0(a≠0)相切且切点横坐标 x0 ∈(－3，－1)即可， 所以 ax2＋2(a－1)x－3a－7 ＝0 有且只有一个根， 即 Δ =4(a－1)2＋4a(3a＋7) ＝0，解得 a ＝－ 或 a ＝－ 1. 当 a ＝－ 时， 代入方程可得 x0 ＝－5∉(－3，－1)；当 a ＝－ 1 时， 代入方程可得 x0 ＝－2 ∈(－3，－ 1). 综上， a ＝－ 1. 答案： －1 【归纳总结】 已知函数有零点求参数范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的 取值范围 分离参数法 将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中， 画出函数的图象，然后数 形结合求解 考点 2 嵌套函数的零点问题 问题 3．已知函数f(x) ＝〈|(a ·2x，x≤0 ， 若关于 x 的方程f(f(x)) ＝0 有且只有一个实数根， |llog2x，x>0， 则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞ , 0) B.(-∞ , 0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1，+∞) [关键点拨] 切入点 换元， 令 u＝f(x) 隐藏点 分 a ＝0 ，a≠0 两种情况进行讨论 迁移点 由f(f(x)) ＝0 可得出f(x)的值或取值范围 [解析] 令 u＝f(x)，则 f(u) ＝0.①当 a ＝0 时，若 u≤0，f(u) ＝0；若 u>0，f(u) ＝log2u ＝0， 得 u ＝1.所以由f(f(x)) ＝0 可得f(x)≤0 或f(x) ＝1.如图所示. 满足f(x)≤0 的 x 有无数个，方程f(x) ＝1 只有一个解，不合乎题意