2024年九年级中考数学专题复习讲义——二次函数与相似问题

二次函数与相似问题 教学内容 知识点一 二次函数与相似 【基础知识框架】 1.相似三角形的判定：(1)两组角对应相等的两个三角形相似(). (2)两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(). (3)三边对应成比例的两个三角形相似(). 2.函数中处理相似问题的思路 (1)如果能证明两个三角形中有一角相等，可令构成这两角的四边分别对应成比例. (2)如果能证明两个三角形中有一角相等，且另外的角中有特殊角，可令特殊角相等. (3)如果无法证明两个三角形中有一角相等，则可表示三边长度，分别对应成比例. 3.求角常见的方法：(1)平行线的性质 (2)公共角 (3)对顶角 (4)等量代换（①②） (5)全等或相似 (6)角平分线 (7)同弧或等弧所对的圆周角、圆心角 (8)特殊三角形 4.平面直角坐标系中距离的表示： (1)与轴平行的线段长度：若，，； (2)与轴平行的线段长度：若，，； (3)任意两点之间线段长度：若，，； 【例题分析】 例1．（2022•东莞市一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点是线段（不与，重合）上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当和相似时，求此时点的坐标； （3）若点是直线（不与，重合）上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，将沿对折，如果点的对应点恰好落在轴上，求此时点的坐标； 例2．（2023•东莞市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点． （1）求直线的表达式； （2）求的值； （3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标． 例3．（2023•顺德区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点和点，与轴交于点，连接，．点是抛物线对称轴上一点，对称轴与轴交于点，与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； （3）当点关于直线的对称点落在抛物线上时，直接写出点的坐标． 例4．（2023•鹤山市一模）如图，抛物线经过点、两点，点为抛物线与轴的交点． （1）求此抛物线的解析式； （2）是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，问：是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线上方的抛物线上找一点，过点作轴的垂线，交于点，是否存在这样的点，使最长，若存在，求出点的坐标，以及此时的长，若不存在，请说明理由． 例5．（2023•陆丰市二模）如图，抛物线与轴交于、两点在的左边），与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）如图，若点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，连接，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 例6．（2023•惠城区一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求的面积； （2）点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 例7．（2023•禅城区校级三模）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点为线段上的一点，当时，求点的坐标； （3）如图3，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，连接，当与相似时，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$