2024年九年级中考数学专题复习讲义——二次函数与特殊四边形　

二次函数与特殊四边形 知识点一 二次函数与平行四边形 【基础知识框架】 1.中点的表示：点，则、中点为___________________. 2. 平行四边形存在性问题：若以、、、四点为顶点为平行四边形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 【例题分析】 1．（2023·广东茂名·统考一模）如图1，已知二次函数的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为线段上方抛物线上的一点，当点P到线段的距离最大时，求点P的坐标； (3)如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标． 2．（2023·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值； (3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（2023上·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023上·广东深圳·九年级期末）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点．   (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 知识点二 二次函数与菱形 【基础知识框架】 1. 平行四边形存在性问题：若以、、、四点为顶点的菱形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 【例题分析】 1．（2024上·广东广州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由 2．（2023·广东茂名·统考三模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023上·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的顶点的坐标为，抛物线与坐标轴分别交于、、三点，且的坐标为，连接、，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)是轴上的一点，过点作轴的垂线，与交于，与交于，若线段把的面积分成相等的两部分，求点的坐标； (3)若点在直线上，点在平面上，直线上是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023上·广东韶关·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如果点在运动过程中，能使得以为顶点的三角形面积最大，请求出此时点的坐标； (3)连接，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标． 知识点三 二次函数与矩形 【基础知识框架】 1. 平行四边形存在性问题：若以、、、四点为顶点的菱形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 在对角线中点相等的前提下，任