2024年九年级中考数学专题复习讲义——二次函数与特殊三角形　

二次函数与特殊三角形 知识点一 二次函数与等腰三角形 【基础知识框架】 1.距离、中点与斜率的表示：已知点 (1) (2)中点坐标 (3)所在直线的斜率；若直线，则；若直线，则. 2.等腰三角形存在性问题： (1)代数法：若为等腰三角形 ①先表示出，，. ②分别先表示，，的长度 ③分类讨论，令___________,___________,____________. (2)几何法：通过圆规作图，分别以已知两点做____________与_________________。 (3)几何性质法:等腰三角形底边上的中线、角平分线和高为同一直线.（三线合一） ①先表示出，，. ②分别先表示，，的中点为,,. ③分别表示、、、、、. ③分类讨论，令,,. 【例题分析】 例1．（2023上·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．   (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 例2．（2022·广东江门·校考一模）如图，抛物线的图象与直线有唯一交点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． (3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标． 例3．（2022上·广东汕尾·九年级校考期中）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 知识点二 二次函数与直角三角形 【基础知识框架】 1.直角三角形存在性问题： (1)代数法：若为直角三角形，先表示出_____________,_____________,____________；再分别先表示___________,___________,____________；最后分类讨论，令___________,___________,____________即可。 (2)几何法：构造三垂直模型，通过相似得到方程。 2.等腰直角三角形存在性问题：先讨论直角三角形存在性问题，再检验等腰三角形问题。 【例题分析】 例1．（2022上·广东广州·九年级校考阶段练习）已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．    例2．（2022上·广东广州·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象经过点，其中、为常数． (1)用含有字母的代数式表示抛物线顶点的横坐标； (2)若时，此时抛物线与轴的另一个交点，与轴的交点，连接、两点，若是抛物线上一点，使得是以边为直角边的直角三角形，求点． (3)点、为坐标平面内的两点，连接、两点．若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围． 例3．（2021上·广东广州·九年级校考期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（−1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD． (1)求点D的坐标； (2)抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使得以A，D，Q三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求Q点的坐标；若不存在，说明理由． 例4．（2022上·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由． 例5．（2022·广东广州·统考一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设APQ的面积为S1，BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使P