2024年九年级中考数学专题复习讲义——二次函数与线段最值　　

二次函数与线段最值 知识点一 二次函数与线段 【基础知识框架】 1.解析式的求解：_______________法. 2.交点的求解： ①函数与轴的交点：令_______为0，求_______； ②函数与轴的交点：令_______为0，求_______； ③两个函数的交点：__________________________； 3.平面直角坐标系中距离的表示： ①与轴平行的线段长度：若，，； ②与轴平行的线段长度：若，，； ③任意两点之间线段长度：若，，； 4.点关于直线对称： ①点关于轴的对称点_____________； ②点关于轴的对称点_____________； ③点关于直线的对称点_____________； 5.点到斜线的距离，可利用等面积法进行转换. 【例题分析】 例1．（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上的一动点，于点，轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标； 例2．（2022秋•从化区期末）对称轴的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点． ①在对称轴直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标． ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 例3．（2022秋•荔湾区校级期末）已知抛物线、为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的函数解析式和顶点的坐标； （2）点为抛物线上的一个动点，关于轴的对称点为，当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值． 例4．（2022秋•天河区校级期末）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． （1）求二次函数的解析式； （2）点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标； 例5．（2022秋•越秀区校级期末）已知抛物线为常数），点，． （1）若抛物线经过点时，求此时抛物线解析式和顶点坐标； （2）抛物线的顶点随着的变化而移动．当顶点移动到最高处时． ①求抛物线的解析式； ②在直线下方的抛物线上有一点，过点作轴，交直线于点，求线段取最大值时的点坐标． 例6．（2021秋•番禺区校级月考）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式和，两点的坐标； （2）如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标． 【变式训练】 1．（2023秋•白云区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数及直线的表达式． （2）过点作轴交直线于点，求的最大值． 2．（2022秋•越秀区校级月考）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值． 3．（2022秋•天河区校级月考）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴交于点，顶点为点．在线段上方的抛物线上有一动点，过点作于点，作交于点． （1）求抛物线和直线的函数表达式． （2）当的周长为最大值时，求点的坐标和的周长． 4．（2023秋•黄埔区校级期中）如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$