专题4-2 三角形中角度计算与常考模型（11类题型）- 2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破 专题4-2 三角形中角度计算与常考模型（11类题型） 知识点与方法技巧梳理： 2 题型一 三角形的分类与角度基本计算 6 题型二 三角形的外角 7 题型三 等腰三角形的角度计算中的分类讨论 8 题型四 飞镖模型 9 题型五 8字模型 12 题型六 三角形折叠中的角度问题 14 题型七 两个内角的角平分线模型 18 题型八 两个外角的角平分线模型 20 题型九 内外角角平分线模型 21 题型十 共顶点的高线+角平分线模型 23 题型十一 三角形相关的角度计算综合问题 27 知识点与方法技巧梳理： 1、三角形内角和定理 1．三角形内角和等于180°； 2．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 3．n边形内角和为( n－2 )×180°，外角和均为360°． 4．按三角形内角的大小可以把三角形分为三类：锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角）． 5．“直角三角形ABC”可以写成“Rt△ABC”．直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边．直角三角形的两个锐角互余． 2、飞镖模型 【条件】四边形ABDC如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD并延长到E， 则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理. 补充：在证明“飞镖”模型的角度关系时，也可通过连接 BC 或延长BD的方式证明 3、8字模型 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证. 补充：在证明“8字”模型的角度关系时, 也可通过三角形内角和为 180 ”, 分别减去一个相等的角, 来证明. 4、两内角角平分线模型 【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 【结论】 【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴ 由A→B→I→C→A的飞镖模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 5、两外角角平分线模型 【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 【结论】. 【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴ 由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--=== 6、内外角角平分线模型 【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 【结论】 【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴ 由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……① 对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③ 比较②③式子可知：.==. 7、共顶点的高线+角平分线模型 【条件】△ABC中，AE、AD分别是△ABC的角平分线和高线. 【结论】 巧记模型结论: 从三角形的同一顶点出发的高与角平分线形成的夹角, 等于三角形中另外两个内角度数之差的绝对值的一半 (大角度数与小角度数之在的一半). 【证明】 模型证明 证明: (1) 当 ∠C>∠B 时, ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC． ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠CAE＝180°－∠B－∠C． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°－∠C． ∵∠EAD＝∠CAE－∠CAD， ∴∠EAD＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)． (2)当∠B>∠C时,如图. 同理可证，∠EAD＝(∠B－∠C)．综上所述， 模型拓展：“垂线+角平分线”模型 在角平分线所在的射线上，任取一点，并向底边作垂线，即构成“垂线＋角平分线”模型，其结论为角平分线与该垂线形成的夹角等于三角形中另外两个内角度数之差的绝对值的一半(大角度数与小角度数之差的一半)，可通过作高的方法利用平行线的性质倒角证明．如图1，AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE上，MN⊥BC于点N，其结论为． 当点M在AE的延长线上时，如图2，图3所示，其结论不变． 题型一 三角形的分类与角度基本计算 1．“三角形”可以用符号“ △ ”表示，如三角形ABC记作“ △ABC ”．直角三角形ABC”