热点专题07相似（11个热点）-2023-2024学年九年级下册数学重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题07相似（11个热点） 考点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 考点二、黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点三、相似图形 1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； ②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 考点四、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 考点五、平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如图四，在中，,则 如图五，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如图四，在中，，则 如图五，在中，交延长线于，则 考点六、相似三角形的相关概念 在和中，如果，，我们就说与相似，记作，就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是； ②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 考点七、相似三角形的判定 1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 考点八、相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 题型一 成比例线段 【例1】已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ． 【变式1-3】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那