2023-2024学年人教版七年级下册数学 第6章 实数 综合培优专题

人教版七下数学 第6章 实数 综合培优专题 实数的非负性运用 1．若，求a100+b101的值． 2．若a、b、c满足，求代数式的值． 3．已知，则的值为　 　． 4．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2++|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求式子x2+2x的算术平方根． 新定义问题 5．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣b2，根据这个规则： （1）求4△3的值； （2）求（x+2）△5＝0中x的值． 6．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，若：{1，2，8}，{﹣0.2，，，20%}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“友好集合”．例如集合{8，0}就是一个友好集合． （1）请你判断集合{2，3}，{﹣2，1，4，7，10} 是不是友好的集合； （2）请你再写出满足条件的两个友好集合的例子（不要写题目中已经出现的）； （3）写出所有的友好集合中，元素个数最少的集合． 7．阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　； （2）计算：（2+i）2； （3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 8．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6＝1+8＝9，所以3186是“对称等和数”，其中k＝9．再如在正整数53697中，因为5+7＝3+9＝6+6＝12，所以53697是“对称等和数”，其中k＝12． （1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k＝4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”； （2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A＝（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C＝1800，求证：y＝﹣x+15． 实数大小估值问题 9．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为 （﹣2）． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值． （2）已知10+＝2x+y，其中2x是整数，且0＜y＜1，求3x﹣y的值． 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝　 　；＝　 　． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 　． 11．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接） 12．我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的相对小数部分．如[2.13]＝2，2.13的相对小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13． （1）[]＝　 　，的相对小数部分＝　 　．﹣3.2的相对小数部分＝　 　． （2）设的相对小数部分为m，求（+[]）m的值． （3）设2﹣的相对小数部分为x，y为有理数．若x（x+y）的值为有理数，求x（x+y）的值． 实数有关的规律探究问题 13．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表：