2024年新高考数学二轮复习最新核心题型全突破专题之奔驰定理与向量四心

3.5奔驰定理与向量四心 知识清单 目录 3.5奔驰定理与向量四心 1 知识清单 1 (一) 本讲介绍 1 (二) 重心定理和奔驰定理 1 (三) 垂心定理 4 (四) 外心定理 9 (五) 内心定理 12 本讲介绍 奔驰定理，也被称为重心定理，是向量中的一个二级结论，主要用于解决与三角形面积比例相关的问题。具体来说，如果一个点位于三角形的内部，并从这个点引出三条射线与三角形的三边相交，那么这三条射线将三角形划分为三个小三角形，这三个小三角形的面积之比等于从该点引出的三条射线与三角形三边的交点到三角形三个顶点的距离之比。这个结论在高中向量解题中有着广泛的应用。 向量四心则是指三角形的重心、内心、外心和垂心。 1. 重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点，它将每条中线分为两段，长度比为2：1，且由重心和三角形三个顶点组成的三个小三角形的面积相等。 2. 内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。从内心到三角形三边的距离相等，这个距离也被称为三角形的内切圆半径。 3. 外心：三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离也被称为三角形的外接圆半径。 4. 垂心：三角形的垂心是三角形三条高的交点。对于锐角三角形，垂心位于三角形内部；对于直角三角形，垂心位于直角顶点上；对于钝角三角形，垂心位于三角形外部。 在考试中，奔驰定理和向量四心通常会以选择题、填空题或解答题的形式出现。题目可能会直接给出三角形的一些性质或条件，要求考生利用奔驰定理或向量四心的性质求解相关问题，如三角形的面积、边长、角度等。因此，考生需要熟练掌握奔驰定理和向量四心的概念和性质，并能够灵活运用它们来解决实际问题。 重心定理和奔驰定理 如图，已知△ABC的顶点 ，，，则△ABC的重心坐标为. （1）重心定理：①在△ABC中，若G为重心，则． ②． ③ ④三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． （2） 奔驰定理：若，则； 【例题1.】 （23-24高一下·山东济南·阶段练习）在中，分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可． 【详解】因为分别是边的中点，点为的重心， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 对于A，，故A错误；     对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确 对于D，，故D错误. 故选：C.    垂心定理 若AD为三角形ABC底边BC上的高，P为高AD上任意一点，则一定有 证明： 同理，我们可以得到: （1）垂心定理：三角形三边上的高相交于一点（如图右），故点O是的垂心， 则一定有． ，即，以此类推即可证明． （2）垂心的向量乘积定理： 如下图，若O是的垂心，G是边BC所在直线上的一点，则 证明：由于和在上的投影为都为，故， 同理，和在上的投影为都为，故， 由于，故. 【例题2.】 （2023·辽宁抚顺·模拟预测）在锐角三角形ABC中，，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】作出辅助线，数形结合，利用向量数量积可求得，再由O为的外心，可得，从而可得，解方程组与可得的值，最后由正弦定理即可求解. 【详解】   设的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c， 如图，延长BH交AC于D，延长AH交BC于E，所以， 所以，即． 又O为的外心，所以，即， 又在中，， 故 ， 所以，与，相减得 ， 所以由正弦定理得，即，解得． 故选：C. （湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 外心定理 外心：三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，即； 外心向量定理： ，；； ，，； ，， 【例题3.】 （23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【分析】 根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的