2.2.2 不等式的解集-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2.2　不等式的解集 [课标解读]1.不等式(组)的解集.2.绝对值不等式的解法． 知识点一　不等式(组)的解集 一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． (1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质． (2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集． 知识点二　绝对值不等式 1．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2都是绝对值不等式． (1)数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|. (2)绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m的点． 2．绝对值不等式的解集 (1)当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<－m，因此解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)； (2)关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]. 知识点三　数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式． 如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a<b时，有a<x<b，从而x－a＝b－x，所以x＝. 当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式． 1．不等式－2x＋1>3的解集为(　　) A.{x|x>－2} B．{x|x<－2} C．{x|x>－1} D．{x|x<－1} D　[解不等式－2x＋1>3得： x<－1. 所以不等式－2x＋1>3的解集为{x|x<－1}． 故答案为D.] 2．不等式|x＋1|>1的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D　[原不等式去绝对值符号有x＋1>1或－(x＋1)>1， 解得x>0或x<－2， 不等式|x＋1|>1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)，故选D.] 3．不等式组的解集是(　　) A．{x|x>3} B．{x|x<3} C．{x|x<2} D．{x|x>2} A　[ 解①得：x>2， 解②得：x>3， ∴不等式组的解集为{x|x>3}，故选A.] 4．设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为__________． 解析：　∵x∈R，不等式|x－3|<1，∴－1<x－3<1， 解得：2<x<4.∴不等式|x－3|<1的解集为：{x|2<x<4}． 故答案为：{x|2<x<4}． 答案：　{x|2<x<4} 5．数轴上，A(－2)关于原点O的对称点是B(x)，点O与点C(y)的中点是B.则x＝ __________，y＝ __________． 解析：　由题意知0＝， ∴x＝2，x＝2＝， ∴y＝4. 答案：　2　4 题型一　一元一次不等式(组)的解法 不等式组的解集为(　　) A．(－3，2)　　　　　　　 B．(－3，－2) C．(－∞，2] D．[－3，＋∞) 点拨：　分别解出不等式的解集，然后求交集即为不等式组的解集． A　[解不等式x－2<0，得x<2， 解不等式3x<4x＋3，得x>－3， 则不等式组的解集为(－3，2)，故选A.] (1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3时不等号的方向是否改变． (2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们的交集，最后写出不等式组的解集．　　 即时练1.已知关于x不等式≥1－(a为常数). 当a＝4时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，求b的值． 解析：　当a＝4时，不等式为≥1－， 去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)， 去括号，得6x＋12≥6－2＋2x， 移项合并，得4x≥－8， 系数化为1，得解集为{x|x≥－2}， ∵已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同， ∴b<0，＝－2，∴b＝－2. 题型二　绝对值不等式的解法 解不等式1<|2－x|≤7. 点拨：　(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值的符号，其基本思想是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式． (2)本例题是绝对值不等式的一种常见题，方法二要比方法一更为简单．也可根据绝对值的意义解题． 解析：　方法一　原不等式可转化为 ∴即 ∴－5≤x<1或3<x≤9. ∴原不等式解集为[－5，1)∪(3，9]. 方法二　原不等式可转化为 －7≤x－2<－1或1<x－2≤7， ∴－5≤x<1或3<x≤9， ∴原不等式解集为[－5，1)∪(3，9]. (1)如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c⇔x<－c或x>c. (2)如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c⇔ax＋b<－c或ax＋b>c. (3)形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m或－m<ax＋b<－n. (4)对于形如|x－a|＋|x－b|>c和|x－a|＋|x－b|<c的不等式，一般以x＝a，x＝b为分界点，将数轴分为几个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不等式．　　 即时练2.(1)不等式|4－x|≥1的解集为(　　) A．[3，5] B．(－∞，3]∪[5，＋∞) C．[－4，4] D．R (2)不等式|x－1|>4的解集为__________． 解析：　(1)由|4－x|≥1可得 或 解得x≤3或x≥5. 故不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞). 故选B. (2)|x－1|>4⇒x－1>4或x－1<－4⇒x>5或x<－3， 故不等式的解集为{x|x<－3或x>5}． 故答案为{x|x<－3或x>5}． 答案：　(1)B　(2){x|x<－3或x>5} 学科网（北京）股份有限公司 $$