3.2 第1课时 函数的零点-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

3．2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 知识目标 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．　2.会求函数的零点．　3.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集. 素养目标 借助函数零点概念的理解，培养数学抽象素养；通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻辑推理素养；利用零点法求不等式的解集，提升数学运算素养. 观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－4x＋3＝0 y＝x2－4x＋3 问题1.方程的根与对应函数的图象有什么关系？ 提示：方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等． 问题2.问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 提示：不是．零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标． 知识点一　函数的零点 1．函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图象与x轴的公共点．因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． [微提醒] 1．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点)．如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． 知识点二　一元二次不等式与对应函数、方程 三个“二次”之间的关系 　从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图象上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图象上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是 学生用书↓第90页 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”． 因此，利用二次函数的图象和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 续表 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根(x1＜x2) 有两个相等的实数根(x1＝x2＝－) 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [微提醒] 1．图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图象、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． 2．x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 1．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的零点为(　　) A．1 B．2 C．(0，1) D．(2，0) 答案：B 解析：因为函数图象与x轴的交点为(2，0)，所以函数f(x)的零点为2.故选B. 2．函数f(x)＝x3－9的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 解析：因为函数在f(x)＝x3－9在x∈R上连续且单调递增，f(2)＝8－9＝－1<0，f(3)＝27－9＝18>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数f(x)＝x3－9的零点所在的区间是(2，3)．故选C. 3．(多选)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有一个零点 D．可能有两个零点 答案：CD 解析：由题意知：函数f(x)在区间(a，b)可能没有零点，也可能有一个不变号零点或者两个变号零点．故选CD. 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________________________________________． 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：由表格可知，函数的零点为x1＝－2，x2＝3，且函数的图象关于直线x＝对称，开口向上，因此不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 5．不等式－2x2＋5x－2＞0的解集为________． 答案： 解析：方法一　原不等式可化为2x2－5x＋2＜0，则(2x－1)(x－2)＜0，解得＜x＜2. 方法二　方程－2x2＋5x－2＝0的根为x1＝，x2＝2，因为函数f(x)＝－2x2＋5x－2的图象开口向下，所以不等式－2x2＋5x－2＞0的解集为. 题型一　求函数的零点 例1　若函数f(x)＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． 点拨：由图可知2、3是方程的根，可求出a、b值，最后令g(x)＝0求得零点． 答案：－和－ 解析：由题图可知函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.令g(x)＝0，易得g(x)的零点为－和－. 函数零点的求法 1．代数法：求出方程f(x)＝0的实数根，即为函数f(x)的零点． 2．几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 学生用书↓第91页 对点练1.函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是1和2，求函数g(x)＝ax2－bx－1的零点． 解：因为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是1和2， 所以1＋2＝a且1×2＝－b， 故a＝3，b＝－2， 所以g(x)＝3x2＋2x－1， 令g(x)＝0，解得x＝－1或， 所以函数g(x)的零点为－1和. 题型二　求函数零点个数 例2　判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－7x＋12； (2)f(x)＝x2－； (3)f(x)＝ 点拨：函数零点就是对应方程的根，方程有几个根，则函数有几个零点． 解：(1)令f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0. 因为Δ＝49－4×12＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根，即函数f(x)有两个零点． (2)由x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，即方程x2－＝0有一个实数根1. 所以函数f(x)＝x2－只有一个零点． (3)方法一　当x≥0时，令f(x)＝0，得x＋1＝0，解得x＝－1，与x≥0矛盾；当x＜0时，令f(x)＝0，得x－1＝0，解得x＝1，与x＜0矛盾， 所以函数f(x)＝没有零点． 方法二　函数f(x)＝ 的图象如图所示． 因为函数图象与x轴没有交点，所以函数f(x) ＝没有零点． 判断函数零点个数的两种方法 1．方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． 2．图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． 对点练2.函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点，即方程(x2－1)(x＋1)＝0的根，显然方程的根为－1，1，所以函数f(x)有两个零点．故选C. 题型三　一元二次不等式的解法 例3　解下列不等式： (1)x2－2x－1＞0； (2)x2－4x＋4＞0； (3)－x2＋2x－3＜0； (4)－3x2＋5x－2＞0. [点拨]　把不等式化为二次项系数为正，右边为0的形式，利用“三个二次”之间的关系求解． 解析：(1)因为Δ＝8＞0，方程x2－2x－1＝0的根是x1＝1－，x2＝1＋， 所以不等式x2－2x－1＞0的解集为{x|x＜1－或x＞1＋}． (2)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， 所以函数f(x)＝x2－4x＋4的图象开口向上且与x轴只有一个交点(2，0)， 所以不等式x2－4x＋4＞0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为x2－2x＋3＞0， 因为Δ＜0，所以函数f(x)＝x2－2x＋3与x轴没交点，f(x)>0恒成立． 所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R. (4)方法一　原不等式可化为3x2－5x＋2＜0. 因为Δ＞0，方程－3x2＋5x－2＝0的两根为x1＝，x2＝1， 所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为. 方法二　因为方程－3x2＋5x－2＝0的两根为x1＝，x2＝1，函数y＝－3x2＋5x－2的图象如图所示，所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为. 二次函数的零点与不等式解集之间的关系 借助相对应的二次函数与一元二次方程的关系，可提炼出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的根； ②画出对应函数图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． 求解过程中，必须考虑对应的二次函数图象的开口方向(a＞0或a＜0)，对应的一元二次方程的判别式符号、两根的大小关系，不等号的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次项系数正负)，二算(求对应一元二次方程的根)，三写(利用对应二次函数的图象写出对应不等式的解集)． 对点练3.解下列不等式： (1)－1＜x2＋2x－1≤2； (2)x2－2x＋2＞0. 解：(1)由 得 因为方程x2＋2x＝0的两根为x1＝－2，x2＝0， 所以－2和0是函数y＝x2＋2x的零点， 故函数y＝x2＋2x的图象与x轴相交于点(－2，0)和(0，0)． 又y＝x2＋2x的图象是开口向上的抛物线，结合图象，知不等式x2＋2x＞0的解集为{x|x＜－2或x＞0}． 因为方程x2＋2x－3＝0的两根为x3＝－3，x4＝1， 所以－3和1是函数y＝x2＋2x－3的零点， 故函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴相交于点(－3，0)和(1，0)． 又函数y＝x2＋2x－3的图象是开口向上的抛物线， 结合图象，知不等式x2＋2x－3≤0的解集为{x|－3≤x≤1}． 故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞0}∩{x|－3≤x≤1}＝{x|－3≤x<－2或0＜x≤1}． (2)因为Δ＝－4＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实根． 由函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线， 且与x轴无交点，可得不等式x2－2x＋2＞0的解集为R. 学生用书↓第92页 微专题(四)　方法技巧 1．已知对于一切实数x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且方程f(x)＝0有五个不同的实根，则这五个实根之和为________． 答案：5 解析：由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，而方程f(x)＝0有五个不同的实根就是函数f(x)的图象与x轴有五个交点，所以这五个交点中有四个关于直线x＝1两两对称，第五个交点必是(1，0)．不妨设(x1，0)与(x3，0)关于直线x＝1对称，(x2，0)与(x4，0)关于直线x＝1对称，则由对称性知＝1，＝1，所以x1＋x3＝2，x2＋x4＝2.所以这五个实根之和为5. 2．已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，试分别求出满足下列条件的实数a的取值或取值范围： (1)函数f(x)没有零点； (2)函数f(x)有两个零点； (3)函数f(x)有三个零点； (4)函数f(x)有四个零点． 点拨：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，进而原问题可转化为函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象的交点问题． 解析：函数y＝|x2－2x|的图象如图所示． (1)函数f(x)没有零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0. (2)函数f(x)有两个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有两个交点，观察图象可知，此时a＝0或a＞1. (3)函数f(x)有三个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有三个交点，由图象易知，此时a＝1. (4)函数f(x)有四个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有四个交点，由图象易知，此时0＜a＜1. 名师点评：　与函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点，方程g(x)＝h(x)的实数根，函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象与x轴的交点有关的问题，均可转化为探究函数g(x)和h(x)图象的交点问题来求解. 1．函数y＝x2－2x－3的零点是(　　) A．(－1，0)，(3，0) B．x＝－1 C．x＝3 D．－1和3 答案：D 解析：令x2－2x－3＝0得(x－3)(x＋1)＝0，所以x1＝－1，x2＝3. 2．不等式x(2－x)>0的解集为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x<2} C．{x|x>2或x<0} D．{x|0<x<2} 答案：D 解析：原不等式化为x(x－2)<0，故0<x<2.3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：只要画出分段函数的图象(图略)，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．故选C. 4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________． 答案：[－4，4] 解析：由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4. 课时测评21　函数的零点　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) ①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)； ②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1； ③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点； ④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标； A．① B．② C．③ D．④ 答案：BD 解析：根据函数零点的定义，知f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．因此，只有说法B、D正确． 2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是(　　) A．1，－4 B．1，4 C．－4，－1 D．4，－1 答案：D 解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的根，两根为4，－1.故选D. 3．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　) A．y＝|x| B．y＝2x2－3 C．y＝x3－x D．y＝ 答案：C 解析：对于选项A，y＝|x|是偶函数，与题意不符；对于选项B，y＝2x2－3是偶函数，与题意不符；对于选项C，y＝x3－x是奇函数，且存在零点x＝－1，0，1，与题意相符；对于选项D，y＝是奇函数，但不存在零点，与题意不符．故选C. 4．函数f(x)＝x－－2的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：令f(x)＝0，得x－－2＝0.设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)，即＝2，得x＝4.因此，方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．故选B. 5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋c，若＞c，则函数f(x)的零点(　　) A．不存在 B．有且只有一个 C．一定有两个 D．个数不确定 答案：C 解析：令g(x)＝(x－a)(x－b)，则其图象是顶点坐标为，开口向上的抛物线，而f(x)＝g(x)＋c，故f(x)的图象顶点为.又＞c，即c－<0，故f(x)的图象的顶点仍然位于x轴的下方，所以f(x)一定有两个零点．故选C. 6．已知函数y＝则该函数的零点是__________． 答案：2 解析：因为函数y＝当x>0时，令2x－x2＝0，解得x＝2或x＝0(舍)；当x<0时，令x2－2x＝0，解得x＝2(舍)或x＝0(舍)．综上可得，该函数的零点是2. 7．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是__________． 答案：－和－ 解析：由函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，可得2和3是方程x2－ax－b＝0的两根，由根与系数的关系可得： a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0，即－6x2－5x－1＝0，解得x＝－或x＝－，所以函数g(x)的零点为－和－. 8．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是__________． 答案：0或 解析：当m＝0时，为一次函数，符合题意；当m≠0时，有Δ＝4－12m＝0，解得：m＝，综上所述，实数m的取值是0或. 9．(10分)求下列函数的零点： (1)f(x)＝－6x2＋5x＋1；(3分) (2)f(x)＝x3＋1；(3分) (3)f(x)＝.(4分) 解：(1)因为f(x)＝－6x2＋5x＋1＝－(6x＋1)(x－1)， 令－(6x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－或x＝1， 所以f(x)＝－6x2＋5x＋1的零点是－，1. (2)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)， 令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1， 所以f(x)＝x3＋1的零点是－1. (3)因为f(x)＝＝， 令＝0，解得x＝－1， 所以f(x)＝的零点是－1. 10．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，其中a∈R. (1)当a＝2时，解不等式f(x)＜0；(4分) (2)若不等式f(x)＜0的解集为R，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x2＋2x－1，令2x2＋2x－1＝0，得到方程的两根为x1＝－－，x2＝－＋.从而f(x)＜0的解集为. (2)当a＝0时，不等式f(x)＝－1＜0恒成立，符合题意． 当a≠0时，易得解得－4＜a＜0. 综上可得，实数a的取值范围为{a|－4＜a≤0}． 11．(5分)分式方程＝＋的根是(　　) A．x＝2 B．x＝1 C．x＝1，2 D．此方程无解 答案：D 解析：去分母，两边同时乘以x(x－2)，得3x＝2(x－2)＋6，解得x＝2.当x＝2时，x(x－2)＝0，所以原方程无意义，所以原方程无解．故选D. 12．(5分)若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，2] B．(－2，2) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2] 答案：A 解析：不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0，令f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4.当a－2＝0时，即a＝2时，f(x)＝－4＜0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使f(x)＜0恒成立，需函数f(x)的图象开口向下且与x轴无交点，即解得－2＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围为(－2，2]．故选A. 13．(10分)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式；(4分) (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 因为y＝f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x， 所以f(x)＝ (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1； 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1. 所以作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 则实数a的取值范围为(－1，1)． 14．(5分)在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，所以不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜. 15．(15分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)． (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(5分) (2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．(10分) 解：(1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0. 当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}； 当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)， 因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜， 所以x－m＜0，1－an＋ax＞0， 所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m. 学生用书↓第93页 学科网（北京）股份有限公司 $$