2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [课标解读]1.一元二次方程的概念.2.一元二次方程的解法.3.一元二次方程根与系数的关系． 知识点一　一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论． 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，x2＝，则有 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 1．下列实数中，是方程x2－4＝0的解集的是(　　) A．{1，－1} B．{2，－2} C．{3，2} D．{4，－2} B　[移项得x2＝4，开方得x＝±2， ∴x1＝2，x2＝－2. 解集为{2，－2 }，故答案为B.] 2．(多选)(2021·全国同步练习)一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A.x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2 C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2 CD　[因为一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，所以由根与系数关系得：x1＋x2＝3，x1x2＝2，故选CD.] 3．(多选)若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值可以是(　　) A．正数　　 B．负数　　 C．一切实数　　 D．零 AD　[当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解．故m可以是正数或0.] 4．方程x2－2x＋3＝0的解集是__________． 解析：　∵Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，∴方程的解集为∅. 答案：　∅ 题型一　求一元二次方程的解集 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 点拨：　根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程． 解析：　(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. ∴x1＝4，x2＝－2.∴方程的解集为{－2，4}． 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0.∴x1＝4，x2＝－2. ∴方程的解集为{－2，4}． (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， ∴x－2＝0或2x－3＝0.∴x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为. 方法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0. ∴x＝＝，即x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为. (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0.∴x－1＝0或x－3＝0.∴x1＝1，x2＝3.∴方程的解集为{1，3}． 解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程．　　 即时练1.(2021·全国同步练习)求下列方程的解集： (1)3x2＋8x－3＝0； (2)x2＋3x－1＝0； (3)(x＋4)2＝5(x＋4)； (4)(x－1)2－2(x－1)＝15. 解析：　(1)因式分解法：(3x－1)(x＋3)＝0， ∴3x－1＝0或x＋3＝0， 解得：x＝或x＝－3， ∴方程的解集为：. (2)公式法：∵Δ＝32－4×1×(－1)＝13>0， ∴x1＝，x2＝. ∴方程的解集为：. (3)因式分解法：(x＋4)[(x＋4)－5]＝0， 即(x＋4)(x－1)＝0，∴x＋4＝0或x－1＝0， 解得x＝－4或x＝1，∴方程的解集为：{－4，1}． (4)因式分解法：方程化为(x－1)2－2(x－1)－15＝0， ∴[(x－1)－5][(x－1)＋3]＝0， ∴(x－6)(x＋2)＝0， ∴x－6＝0或x＋2＝0， 解得x＝6或x＝－2， ∴方程的解集为：{－2，6}． 题型二　一元二次方程根的判别式的应用 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 点拨：　(1)方程的二次项系数为m＋1，因此不确定方程是否为一元二次方程，需对m＋1与0的关系进行讨论． (2)方程有两个相等的实数根，则该方程为一元二次方程，故可利用根的判别式进行求解． 解析：　(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程， 因为已知方程有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， 解得m≥－且m≠－1. 综上可知，当m≥－时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0，解得m＝－， ∴方程为－x2－3x－＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. (1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围． (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. ①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”； ②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”； ③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”； ④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．　　 即时练2.(2021·江苏省单元测试)方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为(　　) A．∅ B．{1} C．{1－，1＋} D．∅或{1}或{1－，1＋} D　[当t－2<0，即t<2时，方程的解集为∅； 当t－2＝0，即t＝2时，方程的解集为{1}； 当t－2>0，即t>2时，方程的解集为{1－，1＋}． 综上知，方程的解集为∅或{1}或{1－，1＋}．故选D.] 题型三　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足＋＝－2，则m的值是(　　) A．－2 B．－ C． D．2 点拨：　先把代数式＋变形为两根之积与两根之和的形式，然后将两根之和、两根之积代入，得出关于m的方程，再解方程即可． B　[根据根与系数的关系有x1＋x2＝1，x1x2＝m， ∴＋＝＝.又＋＝－2，∴＝－2，解得m＝－.] 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形： (1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)＋＝； (3)|x1－x2|＝＝ ； (4)＋＝＝； (5)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (6)(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2.　　 即时练3.(2021·全国同步练习)已知x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，则x＋x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[∵x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根， ∴x1＋x2＝，x1x2＝1， x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7－2＝5，故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $$