第2章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学业标准 素养目标 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集． 2．掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用．(重点) 3．理解一元二次方程根与系数的关系．(难点) 1.通过解一元二次方程培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．通过根与系数的关系的应用，培养学生逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　一元二次方程的概念及解法 　对于方程x2－8x－20＝0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？ [提示]　可以通过配方法求解．方程x2－8x－20＝0可化为(x－4)2＝36，开方得x－4＝6或x－4＝－6，即x＝10或－2. ◎结论形成 1．一元二次方程的概念和解集 定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 一元二次方 程的解集 判别式的符号 解集 Δ＝b2－4ac＞0 ____ Δ＝b2－4ac＝0 Δ＝b2－4ac＜0 ∅ 2．一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边__开平方__，转化为两个一元一次方程，形如(x－k)2＝t(t<0)的方程，解集为__∅__ 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过__配方__化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用__直接开平方法__求解 因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个__一次因式__的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝__－m__，x2＝__－n__ 导学2　一元二次方程的根与系数的关系 　当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？ [提示]　由x1＝，x2＝知， x1＋x2＝＋＝－， x1x2＝×＝. ◎结论形成 　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)关于x的方程ax＝2的解为x＝.(　　) (2)关于x的方程x2＝t的解为x＝±.(　　) (3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根．(　　) (4)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两根，则x1x2＝－2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　) A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 C．2t2－7t－4＝0化为＝ D．3y2－4y－2＝0化为＝ 解析　选项B，x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.其余选项正确． 答案　ACD 3．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 解析　∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即(－2)2－4(m－1)＝0，解得m＝2. 答案　2 4．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为________． 解析　把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，整理得k2＋3k＝0，解得k1＝0，k2＝－3，因为k≠0，所以k的值为－3. 答案　－3 题型一　解一元二次方程题点多探　多维探究 角度1　用配方法解一元二次方程 　利用配方法解方程2x2－4x－30＝0. [解析]　∵2x2－4x－30＝0，∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16， ∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3. [规律方法]　 用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数； (2)移项：把常数项移到方程的右边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式； (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程； (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． [触类旁通] 1．用配方法解方程2x2－5＋x＝0. 解析　移项，得2x2＋x＝5，二次项系数化为1，得x2＋x＝. 配方，得x2＋x＋＝＋. ∴＝.∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴原一元二次方程的解集是. 角度2　用公式法解一元二次方程 　用公式法解方程5x2－3x＝x＋1. [解析]　原方程可化为5x2－4x－1＝0， 所以a＝5，b＝－4，c