第2章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

[教材梳理]

导学1　一元二次方程的概念及解法

　对于方程x2－8x－20＝0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？

[提示]　可以通过配方法求解．方程x2－8x－20＝0可化为(x－4)2＝36，开方得x－4＝6或x－4＝－6，即x＝10或－2.

◎结论形成

1．一元二次方程的概念和解集

2．一元二次方程的解法

导学2　一元二次方程的根与系数的关系

　当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？

[提示]　由x1＝，x2＝知，

x1＋x2＝＋＝－，

x1x2＝×＝.

◎结论形成

　一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

 [基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)关于x的方程ax＝2的解为x＝.(　　)

(2)关于x的方程x2＝t的解为x＝±.(　　)

(3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根．(　　)

(4)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两根，则x1x2＝－2.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．(多选)用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　)

A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100

B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25

C．2t2－7t－4＝0化为＝

D．3y2－4y－2＝0化为＝

解析　选项B，x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.其余选项正确．

答案　ACD

3．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．

解析　∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即(－2)2－4(m－1)＝0，解得m＝2.

答案　2

4．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为________．

解析　把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，整理得k2＋3k＝0，解得k1＝0，k2＝－3，因为k≠0，所以k的值为－3.

答案　－3

题型一　解一元二次方程题点多探　多维探究

角度1　用配方法解一元二次方程

　利用配方法解方程2x2－4x－30＝0.

[解析]　∵2x2－4x－30＝0，∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16，

∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3.

[规律方法]　

用配方法解一元二次方程的步骤

(1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数；

(2)移项：把常数项移到方程的右边；

(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式；

(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程；

(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

[触类旁通]

1．用配方法解方程2x2－5＋x＝0.

解析　移项，得2x2＋x＝5，二次项系数化为1，得x2＋x＝.

配方，得x2＋x＋＝＋.

∴＝.∴x＋＝±.

∴x1＝，x2＝，

∴原一元二次方程的解集是.

角度2　用公式法解一元二次方程

　用公式法解方程5x2－3x＝x＋1.

[解析]　原方程可化为5x2－4x－1＝0，

所以a＝5，b＝－4，c＝－1，

Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，