第二章 习题课(一) 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课(一)　不等式恒成立、能成立问题 [学习目标]　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 应用一　在R上的恒成立问题 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解析：当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． 所以解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 方法技巧 恒成立问题可转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ [提醒]　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 即时练1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0.综上，实数k的取值范围是.故选D．] 应用二　在给定范围内的恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 解析：令y＝x2＋mx＋4， 因为y<0在1≤x≤2上恒成立， 所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得解得m<－5， 所以实数m的取值范围是{m|m<－5}． 方法技巧 在给定范围内的恒成立问题 1．当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. 2．当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 即时练2.命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 B　[因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故选B．] 应用三　解决简单的能成立问题 当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为____________． 解析：记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. 答案：{m|m>－5} 学生用书第45页 方法技巧 1．结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． 2．对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 即时练3.若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解析：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， 所以4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， 所以m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，所以m≥－2， 所以实数m的取值范围为{m|m≥－2}． 1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 D　[不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，所以实数m的取值范围是－2≤m≤2.故选D．] 2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．0<m≤2 C．0≤m≤2 D．0≤m≤4 C　[令y＝，当m＝0时，函数y＝，符合题意；当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，则即解得0<m≤2.综上，实数m的取值范围是0≤m≤2.故选C．] 3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 D　[因为1≤x≤2，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.故选D．] 4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________. 解析：原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意；当a≠0时，有⇒－4<a<0.综上所述，a的取值范围是－4<a≤0. 答案：－4<a≤0 5．(2023·山东潍坊高一检测)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a. (1)若f(x)≥0的解集为R，求实数a的取值范围； 解析：(1)因为f(x)≥0的解集为R， 所以Δ＝(2a)2－4a≤0， 可得a(a－1)≤0， 解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{x|0≤a≤1}． (2)当a≠－3时，解关于x的不等式f(x)>4a－(a＋3)x. 解析：(2)由不等式f(x)>4a－(a＋3)x等价于x2＋(3－a)x－3a>0， 可得(x＋3)(x－a)>0， 当a>－3时，解得x<－3或x>a； 当a<－3时，解得x<a或x>－3. 综上，当a>－3时，不等式的解集为{x|x<－3或x>a}； 当a<－3时，不等式的解集为{x|x<a或x>－3}． 课时精练(十六)　习题课(一)　不等式恒成立、能成立问题 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．{a|－4≤a≤4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≤－4或a≥4} D．{a|a<－4或a>4} A　[由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故选A．] 2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} A　[因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A．] 3．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是(　　) A．a<1 B．a≤1 C．a<2 D．a<0 BC　[因为ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0时恒成立，又由解得0<a<1，综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.故选BC．] 4．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－1<m<4} B．{m|m<0或m>3} C．{m|－4<m<1} D．{m|m<－1或m>4} D　[因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4.由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4，解得m>4或m<－1.故选D．] 5．若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是____________． 解析：x2＋(m－3)x＋m<0无解，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9. 答案：1≤m≤9 6．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是____________． 解析：当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得 解得－3<k<1，因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}． 答案：{k|－3<k≤1} 7．∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解析：由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. [技能提升] 8．设p：∀x∈R，x2－mx＋1>0，q：－2≤m≤2，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为∀x∈R，x2－mx＋1>0，所以Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2，所以p：－2<m<2.由集合间的关系可知，p是q成立的充分不必要条件．故选A．] 9．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是(　　) A．a<－3 B．a<－4 C．a<0 D．a>0 C　[因为x2－2x＋a<0，所以a<－x2＋2x，又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，所以a<－3，又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”，所以C正确．] 10．若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是____________． 解析：当a－3＝0，即a＝3时，不等式化为2x－4＜0，解得x＜2，不满足题意；当a≠3时，需满足 解得 所以－2＜a＜2. 答案：－2<a<2 11．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为_______. 解析：令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)·a－2x－2，是关于a的函数，由题意得(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0.即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②. 解①可得x＜－1或x＞2，解②可得x＜－1或x>，则实数x的取值范围为. 答案： 12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1，0)，且与反比例函数y＝交于点M(3，4)， (1)求二次函数与反比例函数的表达式； 解析：(1)因为点M(3，4)在反比例函数y＝的图象上，故有4＝， 解得k＝12，从而反比例函数为y＝. 又因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A，B，M， 所以解得 所以y＝x2－x－2. (2)若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围． 解析：(2)由(1)知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2， 故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立， 即x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立，所以Δ≤0， 又Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3， 所以m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1. [迁移创新] 13．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 解析：当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立；若a＝－1，不等式为2x－1≤0，解得x≤，不符合题意；当a2－1≠0时，若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，解得－≤a<1.综上可得－≤a≤1. 答案： 14．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 解析：y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)·m－6<0. 因为1≤m≤3，所以x2－x＋1<恒成立， 所以x2－x＋1<即x2－x－1<0，解得<x<. 所以实数x的取值范围为. 学生用书第46页 学科网（北京）股份有限公司 $$