第二章 “铸”你成学霸2 基本不等式的常用技巧-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

一、凑项 根据观察已知表达式(通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”)，将其配凑(凑项、凑系数等)成符合其条件，再利用基本不等式求最值． 若x＞1，则4x＋的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 B　[因为x＞1，则4x＋＝4(x－1)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时取等号，故选B．] 二、分离 第一步：首先观察已知表达式的特征，如分子(或分母)是二次形式且分母(或分子)是一次形式； 第二步：把分母(或分子)的一次形式当成一个整体，并将分子(或分母)的二次形式配凑成一次形式的多项式； 第三步：将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果． 若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 D　[因为－4＜x＜1，所以5＞1－x＞0.所以f(x)＝＝＝－[1－x＋]≤－×2＝－1，当且仅当x＝0时取等号．所以函数f(x)有最大值－1，无最小值．故选D．] 三、代换 常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B．3 C．2 D． A　[由正实数a，b满足a＋b＝2得(a＋b)＝1， 所以＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时等号成立．故选A．] 四、消参 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 学生用书第39页 已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 解析：因为5x2y2＋y4＝1，所以y≠0且x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号．所以x2＋y2的最小值为. 答案： 五、换元 若题目中条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 若a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为________． 解析：令解得 所以＋＝1，a＋2b＝＋－， 因为＋＝＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝，即m＝n>0时取等号， 所以a＋2b＝＋－≥. 答案： 六、齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 已知x，y为正实数，则＋的最小值为________． 解析：令＝t>0，则＋＝2t＋＝2(t＋2)＋－4≥2－4＝6－4，当且仅当2(t＋2)＝，即＝t＝－2时，等号成立． 答案：6－4 学科网（北京）股份有限公司 $$