第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

章末综合提升 　 第一章　集合与常用逻辑用语 提素能　分层突破 单元综合评价 大概念　思维导图 内 容 索 引 大概念　思维导图 索引 索引 提素能　分层突破 索引 素养一　数学抽象 　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养．在本章中，主要表现在理解集合、全称量词命题及存在量词命题的概念． 体现一　集合的基本概念 1．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 A．1 B．3 C．5 D．9 ①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C． √ 2．已知集合M＝{a，|a|，a－2}．若2∈M，则实数a的值为 A．－2 B．±2 C．2或4 D．±2或4 由2∈M得a＝2或|a|＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A． √ 体现二　全称量词命题与存在量词命题 3．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是 A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD． √ √ √ 4．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是 A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， 因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， 所以m>1.故选B． √ 素养二　数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中． 体现三　集合的运算 5．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝ A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 法一(先求并再求补)：因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}． 又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}，故选A． 法二(先转化再求解)：因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3，4，5}，∁UN＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}．故选A． √ 6．已知全集U＝R，A＝{x|－1<x<1}，B＝{y|y>0}，则A∩(∁UB)等于 A．{x|－1<x<0} B．{x|－1<x≤0} C．{x|0<x<1} D．{x|0≤x<1} 因为B＝{y|y>0}， 又由全集U＝R，所以∁UB＝{y|y≤0}， 则A∩(∁UB)＝{x|－1<x≤0}． 故选B． √ 素养三　逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．本章主要表现在集合间的基本关系、充要条件判断及应用． 体现四　集合间的基本关系 7．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|－1，x∈A}，则下列关系正确的是 A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅ 由集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝|x|－1，x∈A}，得B＝{－1，0，1}．又因为集合A＝{－2，－1，0，1，2}，所以B⊆A．故选C． √ 8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|1≤x≤3}，C＝{x|x>2a－1}． (1)求∁UB，A∩(∁UB)； 因为全集U＝R，集合B＝{x|1≤x≤3}， 所以∁UB＝{x|x<1或x>3}，A∩(∁UB)＝{x|－3<x<1}． (2)若A∩C＝A，求实数a的取值范围． 因为A∩C＝A，所以A⊆C，所以2a－1≤－3，解得a≤－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－1}． 体现五　充分条件与必要条件 9．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为M∪P＝{x|x>1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B． √ 10．已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； 由题意可得AB，所以m＋1>3，即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}． (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A＝B． 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2. 素养四　数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．在本章主要表现在集合的实际应用问题中． 体现六　集合的实际应用 11．(多选)某校校运会先后举办射击比赛和游泳比赛，高三某班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛的人数可能是 A．15 B．17 C．21 D．26 √ √ √ 设只参加一项比赛的20名同学中，参加射击比赛的有x人，参加游泳比赛的有y人，则x，y∈N，且x＋y＝20①， 由题设条件知，两项比赛均参加的有45－20－19＝6人， 故参加射击比赛的一共有(x＋6)人，参加游泳比赛的有(y＋6)人， 不妨设参加射击比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则x＋6≥y＋6②， 由①②可得x≥10，故x＋6≥16， 又x≤20，所以x＋6≤26，故16≤x＋6≤26， 所以根据选项，两项比赛中参加人数最多的一项比赛的人数可能是17，21，26.故选BCD． 索引 单元综合评价 索引 因为B＝{x|x2＝4}＝{－2，2}，所以A∩B＝{－2，2}．故选D． 1．设集合A＝{－2，2，4}，B＝{x|x2＝4}，则A∩B＝ A．{4} B．{2} C．{2，4} D．{－2，2} √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 2．(2023·河南高一联考诊断)已知命题p：∃x∈(0，4)，x<1或x>3，则命题p的否定是 A．∃x∈(0，4)，x≥1或x≤3 B．∃x∈(0，4)，1≤x≤3 C．∀x∈(0，4)，x≥1或x≤3 D．∀x∈(0，4)，1≤x≤3 首先确定量词，排除选项A，B；其次“x<1或x>3”等价于“(x－1)(x－3)>0”，它的否定形式为“(x－1)(x－3)≤0”，解得1≤x≤3，故命题p的否定为“∀x∈(0，4)，1≤x≤3”．故选D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 3．已知非空集合A⊆{x∈N|x2＋x－6＝0}，则满足条件的集合A的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 由题意得，集合{x∈N|x2＋x－6＝0}＝{2}，因为非空集合A⊆{x∈N|x2＋x－6＝0}，所以A＝{2}，所以满足条件的集合A的个数是1.故选A． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 4．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是 A．所有能被2整除的正数都是偶数 B．存在三角形的一个内角，其余弦值为 C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D．∀x∈N，x3>x2 对于A，所有能被2整除的正数都是偶数，是全称量词命题，但为真命题，不合题意；对于B，不是全称量词命题，不合题意；对于C，∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解，为存在量词命题，不合题意；对于D，∀x∈N，x3>x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，符合题意．故选D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 5．“2<x<5”是“3<x<4”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 若3<x<4，则2<x<5成立，即必要性成立，反之，若2<x<5，则3<x<4不一定成立，所以“2<x<5”是“3<x<4”的必要不充分条件．故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 6．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 A．{a|a<1} B．{a|a>3} C．{a|a≤1} D．{a|a≥3} 由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1.故选C． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 7．某中学计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有 A．34名 B．22名 C．12名 D．6名 设两类均喜欢的有x名，则46－6＝34＋18－x，解得x＝12， 故只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有34－12＝22名，故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 A．5 B．6 C．7 D．8 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 9．下列命题正确的有 A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，2x2－3x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0 √ √ C选项，由x2－1＝0得x＝±1，所以只有当x＝±1时，x2－1＝0成立，故C错误； D选项，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，故D正确．故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 10．已知集合A＝{1，2，3}，则下列表示方法正确的是 A．∅⊆A B．{1，2}∈A C．A⊆N* D．1⊆A 因为集合A＝{1，2，3}，则∅⊆A，即A选项正确；集合A中元素都是正整数，则A⊆N*，即C正确；“∈”只能表示元素与集合之间的关系，故B错误；“⊆”只能表示集合之间的关系，故D错误．故选AC． √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 11．下列说法中正确的是 A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，x2＞0，则¬p：∃x∈R，x2＜0 D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定为¬p： √ √ 当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是 A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 M＝{x|x＜0}，N＝{x|x>0}，M∪N≠Q不是戴德金分割，A错误； M＝{x|x<10，x∈Q}，N＝{x|x≥10，x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项B可能； 假设选项C可能，即集合M，N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可 合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项D可能．故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 13．命题“同位角相等”的否定为_____________________. 全称量词命题的否定是存在量词命题． 有的同位角不相等 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 14．已知集合U＝{3，4，a2＋2a＋3}，A＝{3，4}，∁UA＝{6}，则实数a的值为________． 由集合U＝{3，4，a2＋2a＋3}，A＝{3，4}，∁UA＝{6}，得a2＋2a＋3＝6，即a2＋2a－3＝0，解得a＝－3或a＝1. 1或－3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 16．若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为__________；若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是________________．(本题第一空2分，第二空3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 由集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素， 若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：无论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； ¬p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实根． 因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立， 所以¬p为假命题． (2)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋4x－4y＋8＝0. ¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＋4x－4y＋8≠0. 因为x2＋y2＋4x－4y＋8＝(x＋2)2＋(y－2)2， 当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋4x－4y＋8≠0成立，所以¬p为真命题． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 18．(本小题满分12分)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|0<x＋1≤4}，P＝{x|x≤0，或x≥5}．求： (1)A∩B，∁UB； 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|0<x＋1≤4}＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示： 所以A∩B＝{x|－1<x<2}， ∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)(A∩B)∪(∁UP)． (A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x<5}＝{x|－1<x<5}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 19．(本小题满分12分)(1)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，若p为真命题，求a的取值范围； 命题p可转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1. (2)已知命题q：∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，若q为真命题，求a的取值范围． 命题q：存在x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，就是x≥a在x∈{x|1≤x≤4}有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}． (1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值； 由已知得，集合A＝{x|－1≤x≤3}， 集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}． 因为A∩B＝{x|0≤x≤3}， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． 由已知得，集合A＝{x|－1≤x≤3}， 集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}． ∁RB＝{x|x<m－2，或x>m＋2，m∈R}， 因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1， 所以m>5或m<－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|m－1<x<m2＋1}，B＝{x|－2<x<2}． (1)当m＝2时，求A∪B，A∩B； B＝{x|－2<x<2}， 当m＝2时，A＝{x|1<x<5}， 所以A∩B＝{x|1<x<2}， A∪B＝{x|－2<x<5}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 由题意，可得集合A是集合B的真子集， 因为m－1<m2＋1恒成立，所以集合A非空． 经检验m＝－1不符合题意，所以－1<m≤1. 即实数m的取值范围是－1＜m≤1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 22．(本小题满分12分)从给出的三个条件①a＝1，②a＝2，③a＝3中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答．已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值； 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，当a＋2＝1，即a＝－1时，得B＝{0，1，1}，不符合题意；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2时，得a＝2，此时A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，满足题意．所以a＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)已知________，若集合C含有两个元素且满足C⊆(A∪B)，求集合C． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 根据题意，若选择条件①，则B＝{0，1，1}，不符合题意，故可选择条件②或③. 若选择条件②，则A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，所以C＝{0，1}或C＝{0，4}或C＝{1，4}． 若选择条件③，则A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}， 所以C＝{0，1}或C＝{0，5}或C＝{0，9}或C＝{1，5}或C＝{1，9}或C＝{5，9}． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 8．定义集合的商集运算为＝，已知集合S＝{4，6}，T＝，则集合∪T中的元素个数为 因为T＝＝{1，2}，所以＝{2，3，4，6}，所以∪T＝{1，2，3，4，6}．所以集合∪T中元素的个数为5.故选A． A选项，由1<4x<3,得<x<，所以不存在x∈Z,使1<4x<3，故A错误； B选项，由2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1，1∈Z，故B正确； C．命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 ∃∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C,其否定为“若a＞b＞0，则≥”, 能的，即C错误；M＝{x|x< ，x∈Q}，N＝{x|x≥，x∈Q}，显然集 15．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________． 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个： {－1}，，. 0或 故a的取值范围是. 易知a＝0或解得a＝0或a＝. 所以解得a<0或0<a<. 所以解得m＝2. 所以解得－1≤m≤1，  $$