天津市和平区2023-2024学年高三下学期第一次质量调查数学试卷

和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第一次质量调查 数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利! 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： •球的表面积公式，其中R表示球的半径. •如果事件A、B互斥，则. •如果事件A、B相互独立，则. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，集合，则集合C的子集个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3.已知等比数列的各项均为正数，若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4.已知a，，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ） ①估计居民月均用水量低于的概率为0.25； ②估计居民月均用水量的中位数约为； ③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万； ④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人. （第5题） A.1 B.2 C.3 D.4 6.设，，，则有（ ） A. B. C. D. 7.已知函数，是的导数，则以下结论中正确的是（ ） A.函数是奇函数 B.函数与的值域相同 C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上单调递增 8.若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球O的表面上，，则三棱台的高为（ ） A. B.8 C.6或8 D.或6 9.设双曲线的左、右焦点分别为点，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2.本卷共11题，共105分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10.i为虚数单位，复数，则______. 11.在的二项展开式中，的系数为______（请用数字作答）. 12.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为______；党员甲能通过初试的概率为______. 13.圆与抛物线的准线相交于A，B两点.若，则抛物线的焦点坐标为______. 14.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称. （i）请用、表示______； （ii）请写出的取值范围______. 图一 图二 第（14）题 15.若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为______. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分14分） 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，，且. （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值. 17.（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点，点M是线段上一点. 第（17）题 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值； （IⅢ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 18.（本小题满分15分） 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段的中点为T