2024年上海市高三数学竞赛试题

2024年上海市高三数学竞赛试题 2024年3月24日上午9：30~11：30 一､填空题（第1~4题每小题7分，第5~8题每小题8分，共60分） 1.若正实数满足，则的最小值是__________. 2.现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为__________.（用最简分数表示答案） 3.计算__________. 4.已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为__________. 5.若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为__________. 6.一个顶点为､底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是__________. 7.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________. 8.若3个整数满足，则这样的有序整数组共有__________组. 二､解答题（每小题15分，共60分） 9.在平面直角坐标系中，已知椭圆是椭圆的左､右顶点.点是椭圆内（包括边界）的一个动点，若动点使得，求的最大值. 10.求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 11.数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同. 12.将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为.设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准 【说明】解答本试卷不得使用计算器，解答请写在答题纸上 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.9. 17 2.81 3.2 4.58 5.5. 6. 8 27x 1 8.14. 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9在平面直角坐标系：0中，已知椭圆：号+护-1，么B是酰圆r的左、 右顶点.点C是椭圆r内（包括边界）的·个动点，若动点P使得PBPC=0, 求OP的最大值， 解：设动点C(x,为)，P(xy),因为PBPC=0,所以PB⊥PC,设BC的 巾点为M 因为点820，C()小.所以点M(2}于是 BG=V(x-2)+8 4-20o=32侣-+2+ 所以 OP SJOM+AP=JOM+BC (4C+BC1). --…5分 记，04C+BC)=a,则当x=0=1时，a=5. =-7分 若a,5,因为对4G+C-2a表示点C在提圆导+。1 …--10分 多 5 这与点C(x,)在椭圆「内才活！ 故a≤√5，即OP≤√5，当点C为C(0.1)时等号成立. 综上所述，O州的城大值为√5 --…15分 10.在平面有角坐标系xO中，求所有的正整数n(n23),使得正n边形能内 接于精手+片=(。b>0)(御主边形的所有预点都在稀帽上入 解：当n=3,4时，止三角形、止方形能内接于椭圆。 如图，椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在， -一-…4分 当n≥5时，不存在椭圆的内接正n边形. 设椭园的方程为 7+F=1(a>bs0). ① 正n边形(n之5)的外接圆方程为 (x-cy+(y-d)'=r2(r>0) ② 若d=0,由①，②消去y可得 这是关于x的二次方程，它至多有两个实数根，再袖y=h-号 符方程组①， ②至多有4组实数解. -一…8分 若d≠0，则方程②为 -2=r2-(x-e2-y2-d2 所以 2冰--e-- - ③ 两边平方 P---可 必 w}r---} ④ ④是关于x的4次方程，至多4个实数解，对每个x的实数解，再由③，即 =----} 2d 可对应得到·个y的解，所以方程组①，②也至多有4组实数解 综上，椭园与正m边形(n之5)的外接圆至多有4个公共点，也就是说正n边 形(25)至少有一个顶点不在椭圆上 故n≥5时，正n边形不可能内按于椭圆 --…15分 11.数列{a,}满足：a,=a=1a2=a4+a(n=l,2.),M是大于1的正 整数.求证：在数列a,a,a,…中存在相邻的两项，它们除以M的余数相等. 解：设a,除以M所得的余数为x,n=1,2,,构造有序数对的序列： (x3,x4）(x4,无3)，…，(x,工）， (*) --3分 山于，e{0,1,2,M-,故序列()中至多有M2个不同的项，根据抽晨 原理，〔幸)的前M产+1项巾必有相同的两项。设为 (x,）=(x,);3≤k<1 ---5分 因为 -厘4-=a4-a4=4- =x-x=am-a==x(modM). 所以x=x故()=() =-…10分 銖续上述过程