2024年九年级中考数学复习专题五 方程和不等式模型的构建

专题一 方程和不等式模型的构建 一、目标解读 从实际问题中建立方程组的模型、分式方程模型、一元二次方程模型及一元一次不等式 （组）模型，主要体现的是模型思想，方程思想，重点要突破的是如何分析实际问题，从等量关系或不等关系通过设未知数，建立方程或不等式，再解方程或不等式，最后检验是否为方程或不等式的解，以及是否符合实际问题，从而解决实际问题的过程。难点是根据实际问题的等量关系建立方程或不等式，为突破这一难点，建议先用代数式分别表示各种量，然后找到等量关系或不等关系从而建立方程或不等式，必要时可以通过画图、列表等方法辅助，使数量关系更加直观。 解决这类问题往往要注意以下三点： 1、理解题意是关键，不能解决往往是没有读懂题意，所以读题时要划出关键的数量和数量关系，多读几遍题。 2、列方程或不等式时要抓住关键的数量关系，用数学符号将数量关系表示出来，简单的可以理解为用数学符号翻译数量关系。 3、解出方程或不等式的解后，一定要代入到原方程或不等式中进行检验，看是否是原方程或不等式的解，特别的分式方程还要检验是否为增根，还要检验是否符合实际问题，特别的一元二次方程两个解时是否都符合题意，不等式的解是否要取整数，是否符合题意等。 二、问题探究 问题 1：我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） y x 4.5 A. 0.5 y x 1 y x 4.5 B. y 2x 1 y x 4.5 C. 0.5 y x 1 y x 4.5 D. y 2x 1 【分析】 根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子 对折再量木条，木条剩余 1 尺”可知：1绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 2 【解析】 解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺， y x 4.5 那么可列方程组为： 0.5 y x 1，故选：A． 【归纳总结】 本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 问题 2：某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2 倍，结果甲比乙早到10min ，求乙同学骑自行车的速度． 【分析】 设乙同学骑自行车的速度为 x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前 10 分钟到达，即可得出关于 x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【解析】 解：设乙同学骑自行车的速度为 x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟， 根据题意得： 12 x 解得： x 0.2 ． 12 1.2x 10 ， 经检验， x 0.2 是原方程的解，且符合题意，答：乙同学骑自行车的速度为0.2 千米/分钟． 【归纳总结】 题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可，本题的易错点是等量关系弄错，不清楚这两个时间之间的关系，提前 10 分钟是少用 10 分钟，在路程相等的情况下，速度越快，时间越少． 问题 3：如随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2 月份游客人数为 1.6 万人，4月份游客人数为 2.5 万人． (1) 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2) 预计 5 月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已 知该景区 5 月 1 日至 5 月 21 日已接待游客 2.125 万人，则 5 月份后 10 天日均接待游客人数 最多是多少万人？ 【分析】 （1） 设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2） 设 5 月份后 10 天日均接待游客人数是 y 万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【解析】 （1） 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x ，由题意，得： 1.61 x2 2.5 ， 解得： x 0.25 25% （负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25% ； （2） 设 5 月份后 10 天日均接待游客人数是 y 万人，由题意，得： 2.125 y 2.51 25% ，解得： y 1； ∴5 月份后 10 天日均接待游客人数最多是 1 万人． 【归纳总结】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系和不等关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键，本题的易错