2024年九年级中考数学复习专题二 式的运算

专题二 式的运算 一、目标解读 以整式、分式、二次根式的运算法则和整式的因式分解为依据，解决代数式计算的任务。这类问题主要考察了学生对代数式运算法则的理解、应用以及解决实际问题的能力。 通过本专题的学习，要掌握正确解决代数式的运算的思路和方法，能够根据具体问题进行分析和解答。提高代数式计算的准确性的能力。 二、问题探究 问题 1：化简求值： 𝐚−𝟏 ÷（𝐚𝟐+𝐚 + 𝟏 ），其中 a= √𝟑 −1． 𝐚𝟐−𝟐𝐚+𝟏 𝐚𝟐−𝟏 𝐚−𝟏 【分析】先计算括号内：对分子分母因式分解，再通分，然后合并化简；再计算除法：将除法变为乘法，约分化简；最后代入求值即可． 【归纳总结】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，解题的关键是分解因式，注意不能直接代值，要先化简，再代入求值． 问题 2：把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个菱形，第②个图案中有 3 个菱形，第③个图案中有 5 个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ） A．15 B．13 C．11 D．9 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1 + 2 = 3；第③个图案中菱形的个数：1 + 2 × 2 = 5；…第 n 个图案中菱形的个数：1 + 2(n − 1)，算出第⑥个图案中菱形个数即可． 【解析】∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1 + 2 = 3； 第③个图案中菱形的个数：1 + 2 × 2 = 5； … 第 n 个图案中菱形的个数：1 + 2(𝑛 − 1)， ∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1 + 2 × (6 − 1) = 11，故 C 正确．故选：C． 【归纳总结】 本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 问题 3：若m + n = 10，mn = 5，则m2 + n2的值为 ． 【分析】将m2 + n2变形得到(m + n)2 − 2mn，再把m + n = 10，mn = 5代入进行计算求解． 【解析】∵m + n = 10，mn = 5， ∴m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn = 102 − 2 × 5 = 100 − 10 = 90． 故答案为：90． 【归纳总结】本题考查代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键，要掌握乘法公式的几种常见变形． 三、小结反思 式的计算这一专题，学生必备知识：整式的运算法则，分式的运算法则，二次根式的运算法则等。会利用这些知识准确进行代数式的运算，能正确识别新运算并会进行计算。这一类关键的问题是法则的熟练程度和运算的准确性。 四、运用与拓展 拓展 1：若 a，b 满足等式𝑎2 − 6𝑎 + 9 + √𝑏 + 1 = 0，则 a2023 b2023＝ ． ( • )3 【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方解决此题． 【解析】解：∵a2﹣6a+9+√𝑏 + 1 =0， 3 ∴（a﹣3）2+√𝑏 + 1 =0， 3 ∵（a﹣3）2≥0，√𝑏 + 1 ≥0， 3 ∴当（a﹣3）2＝0，√𝑏 + 1 =0， 3 ∴a＝3，b= − 1， 3 ∴a2023•b2023＝（ab）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1． 【归纳总结】 本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方是解决本题的关键． 拓展 2：阅读材料：若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”． 例如：M = 2543，∵32 + 42 = 25，∴2543 是“勾股和数”； 又如：M = 4325，∵52 + 22 = 29，29 ≠ 43，∴4325 不是“勾股和数”．解决问题：(1)判断 2022，5055 是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M) = c+d，P(M) = |10(a−c)+(b−d)|．当G(M)，P(M)均是整数时，求出所有满足条件的M． 9 3 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得10a + b = c2 + d2，根据G(M)，P(M)均是整数可得c + d = 9， c2 + d2 = 81 − 2cd为 3 的倍数，据此得出符合条件的 c，d 的值，然后即可确定出 M． 【解析】(1)解：2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；理由：∵22 + 22 = 8，8 ≠ 20，∴1022 不是“勾