证明线面垂直和面面垂直题型总结专题训练——2024届高三数学二轮复习

证明线面垂直和面面垂直的方法总结 线面垂直的判定定理 ⇒l⊥α 题型一 证明线面垂直 1．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形．证明：； 2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是梯形,BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=,PA=PC=,E为线段PD的中点.证明:AC⊥BP. 3.如图,菱形ABCD的边长为6,对角线相交于点E,∠ABC=,将△ADC沿AC折起得到三棱锥D-ABC,点D在底面ABC的投影为点O.求证:AC⊥BD. 4．在三棱柱中，侧面为菱形，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，，，且.求证： 平面； 5．在四面体中，，，，.求证：平面 6．如图，在直角中，.通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为线段上一点，且.证明：平面； 7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,AB=AA1=2AD=2,∠DAB=60°. 证明:AD⊥A1B. 8．如图所示的多面体的底面为直角梯形，四边形为矩形，且，，，，，，分别为，，的中点．求证：平面； 9．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点，且点在平面的同侧. 求证:； 线面垂直性质定理 ⇒a∥b 题型二 线面性质证线线平行 10．如图，底面，底面，四边形是正方形，.证明：平面； 11．如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE. 12．如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.证明：平面；    13．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.证明:平面; 14．如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．求证：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 面面垂直证明定理 ⇒α⊥β 题型二 证明面面垂直 15．在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．求证：平面EAC⊥平面PAB． 16．如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.证明：平面平面； 17．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且.证明：平面平面.    18．如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．求证：平面平面． 19．如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，，，，求证：平面平面 ； 20．如图：四棱雉中，底面为矩形，为直角三角形，的面积是面积的倍．求证：平面平面； 21.如图，四边形为平行四边形，点在上，，且.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.求证：平面平面； 面面垂直的性质定理 ⇒l⊥α 题型三 面面垂直的性质应用 22.如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．求证：平面； 23．在四棱锥中，平面平面.底面为梯形，，，且，，.求证：； 24．如图，梯形中，，，，将沿折到的位置，使得平面平面.求证：； 25如图,三棱柱ABC一A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,D,E分别为AB，BB1，的中点,若AE⊥A1C,平面ABC⊥平面AA1 B1 B.求证:CD⊥平面AA1 B1 B. 20. 参考答案 1. 取BD的中点O，连接OC，OA,根据题意，AO⊥BD，又BC=CD,故CO⊥BD,OC和AO在平面AOC内，又COAO=O，所以BD⊥平面AOC,又AC平面AOC，所以AC⊥BD; 2.取AD中点F,连接BF交AC于点O,连接PF,PO,FC,如图①, 由AB=BC=CD=1,AD=2,且在梯形ABCD中,有BC=AF=1且BC∥FA, 所以四边形BCFA为平行四边形,又AB=BC=1,所以▱BCFA为菱形, 所以O为AC,BF的中点,所以BF⊥AC. 又PA=PC=,所以PO⊥AC, 因为BF⊥AC,PO⊥AC,PO∩BF=O,BF,PO⊂平面PBF, 所以AC⊥平面PBF,又BP⊂平面PBF,所以AC⊥BP. 3.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥EB,AC⊥ED, 因为EB∩ED=E,EB,ED⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE, 又因为BD⊂平面BDE,所以AC⊥BD. 4.ABC为等腰直角三角形，M为AC的中点，所以由等腰三角形三线合一可得BM ⊥AC又侧面ACC1A1为菱形，A1AC=.所以A1M⊥AC，由AC=A1B =4，可得A1M =2 ，BM =2,A1B=4,..由勾股定理逆定理可得BM⊥ A1M，且A1M∩AC=M ,所以由线面垂直的判定定理可得BM工平面ACC1A1 5.证明:因为BC⊥AC，AB=4，AC=2√3，所