圆锥曲线定直线专题讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线定直线讲义 方法：求证点在定直线上的问题，一般采用以下方法： 1.求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上； 2.大胆猜测定直线的性质（利用对称性），如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与轴平行，所以直接消去x，得到y的值，从而确定交点在定直线上. 例题讲解 例1．已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 例2．已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 例3．过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32    (1)求抛物线的方程； (2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程. 例4．已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，. (1)求的方程； (2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点． （i）证明：点在定直线上： （ii）若直线与交于点，求证：． 例5．已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 例6．双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 例7．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 例8．已知，． (1)证明：总与和相切； (2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 例9．已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P. (1)求椭圆L的标准方程； (2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动. 例10．如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是    (1)求的值 (2)若直线过点，求证：为定值； (3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 例11．已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 试卷第4页，共21页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线定直线讲义 方法：求证点在定直线上的问题，一般采用以下方法： 1.求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上； 2.大胆猜测定直线的性质（利用对称性），如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与轴平行，所以直接消去x，得到y的值，从而确定交点在定直线上. 例题讲解 例1．已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 解析（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.    例2．已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 解析（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、， 联立可得， ，因为，可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得，解得或