圆锥曲线取值范围讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线取值范围讲义 1.圆锥曲线取值范围 (1)基本不等式法 (2)导数法 (3)判别式法 (4)换元法 (5)配方法 (6)三角函数有界性 (7)函数单调性 例题讲解 例1.已知椭圆的左、右焦点分别是,其离心率,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程; (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,证明:为定值,并求出这个定值; (3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,设的角平分线交椭圆的长轴于点,求的取值范围. 例2.已知双曲线经过椭圆的左、右焦点,设的离心率分别为,且. (1)求的方程; (2)设为上一点,且在第一象限内,若直线与交于两点,直线与交于两点,设的中点分别为,记直线的斜率为,当取最小值时,求点的坐标. 例3.已知,分别是椭圆:()的左、右顶点,为的上顶点,是上在第一象限的点,,直线,的斜率分别为,,且. (1)求的方程; (2)直线与交于点,与轴交于点,求的取值范围. 例4.已知以下事实:反比例函数()的图象是双曲线,两条坐标轴是其两条渐近线. (1)( )直接写出函数的图象的实轴长; ( )将曲线绕原点顺时针转,得到曲线,直接写出曲线的方程. (2)已知点是曲线的左顶点.圆:()与直线:交于、两点,直线、分别与双曲线交于、两点.试问:点A到直线的距离是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此时的值;若不存在,说明理由. 例5.已知动圆过定点,且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程; (2)若点,过点的直线交的轨迹于两点,求的最小值. 例6.已知点和圆为圆上的一动点,线段的垂直平分线与线段相交于点,记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)已知点,若曲线与轴的左、右交点分别为,过点的直线与曲线交于两点,直线相交于点,问:是否存在一点,使得取得最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 例7.已知离心率为的双曲线:过椭圆:的左,右顶点A,B. (1)求双曲线的方程; (2)是双曲线上一点,直线AP,BP与椭圆分别交于D,E,设直线DE与x轴交于,且,记与的外接圆的面积分别为,,求的取值范围. 例8.已知双曲线,过点的直线与双曲线相交于两点. (1)点能否是线段的中点?请说明理由; (2)若点都在双曲线的右支上,直线与轴交于点,设,求的取值范围. 例9.设F为抛物线的焦点,点P在H上,点,若. (1)求的方程; (2)过点F作直线l交H于A、B两点,过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C,过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D,直线CB与AD交于点G,求的取值范围. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 圆锥曲线取值范围讲义 1.圆锥曲线取值范围 (1)基本不等式法 (2)导数法 (3)判别式法 (4)换元法 (5)配方法 (6)三角函数有界性 (7)函数单调性 例题讲解 例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值； (3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围． 解析（1）由于，将代入椭圆方程，得． 由题意知，即． 又，，所以，． 所以椭圆的方程为． （2）设，则直线的方程为． 联立得， 整理得 由题意得，即． 又，所以，故． 又知， 所以， 因此为定值，这个定值为． （3） 设，又，， 所以直线的方程分别为， ． 由题意知， 由于点在椭圆上，所以． 所以， 结合整理得到：，而， 故，而在之间，故， 故即，因此． 例2．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． (1)求的方程； (2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 解析（1）依题意可得，得， 由，得，解得， 故的方程为的方程为． （2）易知，设，直线的斜率分别为， 则， 在，即有， 可得为定值． 设直线的方程为：，联立可得 恒成立， 设，则有， 可求得， 设直线的方程为：， 同理可得， 则 由可得：， 点在第一象限内，故， 当且仅当，即时取等号， 而，故等号可以取到． 即当取最小值时，，联立， 可解得， 故的方程为：的方程为：， 联立可解得，即有．    例3．已知，分别是椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，是上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且． (1)求的方程； (2)直线与交于点，与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 解析（1）依题意，设，显然，， 则，又，即， 所以，即①