微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

微重点04　平面向量数量积的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 知识导图 考点分类讲解 考点一：求参数的最值(范围) 规律方法　利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)． (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1. 【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是________． 【变式1】设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－1,3] B．[－1,5] C．[－7,3] D．[5,7] 【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ． 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则函数的最小值为 . 【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为(　　) A.＋ B. C. D．1 考点二：求向量模、夹角的最值(范围) 易错提醒　找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线． 【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 . 【例2】　(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________． 【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 【变式2】(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________． 【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 . 考点三：求向量数量积的最值(范围) 规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 【例3】　(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且AB＝1，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1＋ D．2＋ 【变式1】(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则·的取值范围是(　　) A．[－2,6] B．[－1,9] C．[－2,4] D．[－1,6] 【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．0 B．－ C．－ D．－2 【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 ． 强化训练 单选题 1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（23-24高三上·江西吉安·期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最