专题07 圆中的相关计算问题（五大热点题型）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）

专题07 圆中的相关计算问题 目录 热点题型归纳 1 一、 与圆相关的证明与计算 1 题型01 与圆相关的证明与计算（常见模型） 1 【解题策略】 1 二、 求线段长的三种方法 5 题型02 利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一） 5 【解题策略】 5 题型03 利用相似三角形的性质求线段长（方法二） 7 题型04 利用等面积法求线段长（方法三） 9 三、与圆有关的阴影部分面积的计算 10 题型05 与圆有关的阴影部分面积的计算 10 中考练场 15 1、 与圆相关的证明与计算 题型01 与圆相关的证明与计算（常见模型） 【解题策略】 方法技巧 常见模型（知识提炼） 图示 技巧点拨 1.有直径构造直角 1. 有30°，构造直角三角形. 2. 有直径，构直角. 2.圆中易得等腰三角形 圆中易得等腰三角形； 3.有平行四边形，易得含60°的菱形 以两半径为邻边的平行四边形，必为含60°的菱形. 4.含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一 含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一； 5.有中点，得垂直 有中点，连圆心，构垂径定理. 6.连接圆心的线段易为中位线 连接圆心的线段易为中位线. 【典例分析】 【例1】（2023·辽宁模拟）如图，是的直径，点是延长线上一点，直线切于点，连接． ，求的度数； 若，，求的半径． 【例2】（2023·全国模拟） 如图，直线经过上一点，并且，直线与具有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式演练】 1.（2023·山西模拟） 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点． 求的度数；   求证：四边形是菱形． 2.（2023·河北模拟）如图，，，都是的半径，． 求证：； 若，求的半径． 二、 求线段长的三种方法 题型02 利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一） 【解题策略】 方法技巧 （1）勾股定理最简单的应用，就是在一个直角三角形中已知其中两条边的长度，求另外一条边； 另外，有时候也结合勾股定理通过设未知数的方法来计算线段的长度。 比如，在△ABC中，∠C=90度，其中AC+BC=7，AB=5，那么我们就可以设AC的长度为x，这样一来，BC就等于7-x，根据勾股定理就可以建立方程：x2+(7-x)2=25,解这个方程就可以得到另外两条边的长度。 （2）在△ABC中，∠C=90°, ∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=. 【典例分析】 【例1】（2023·宁夏模拟）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． 求证：与相切； 若，，试求的长． 【变式演练】 1.（2023·江苏模拟） 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． 求证：为的切线． 连接，取的中点，连接若，，求的长． 2.（2023·广东模拟） 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且A. 求证：是的切线 若的半径为，，求的长． 题型03 利用相似三角形的性质求线段长（方法二） 【解题策略】 方法技巧 当要求的线段在一般三角形中，还可以通过相似三角形的性质来求解。初中阶段我们常用的相似三角形分为“A”型、 “X”型或一般相似三角形，“A”型和“X”型相似常常伴随着平行线产生，也就是说如果题目中出现了平行线，那么很可能就会有相似三角形产生，如果有相似三角形，那就可以利用相似的性质进行线段长度的求解了； 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB. 【典例分析】 【例1】（2023·湖北模拟）如图，已知，，为的中点，以为直径的交于点． 求证：是的切线； 若：：，，求的长． 【变式演练】 1.（2023·河南模拟） 如图，点在的边上，与边相切于点，与边，分别交于点，，且． 求证：； 当，时，求半径的长． 2.（2023·江苏模拟） 如图， 为直径， 为上一点，点是的中点，于，于 求证： 是的切线； 若，求 的长度． 题型04 利用等面积法求线段长（方法三） 【解题策略】 等面积法： 【典例分析】 【例1】（2023·云南模拟）已知：如图，为的直径，，交于，于． 请判断与的位置关系，并证明； 连接，若的半径为，，求的长． 【变式演练】 1.（2023·福建模拟）如图，是的内接三角形，是弦的中点，点是外一点，且，连接并延长与相交于点，与相交于点． 求证：是的切线； 若的半径为，求弦的长． 三、与圆有关的阴影部分面积的计算 题型05 与圆有关的阴影部分面积的计算 【解题策略】