6.2.4 向量的数量积（第一课时）-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.2.4向量的数量积（第一课时） 1.了解平面向量夹角的概念. 2.掌握平面向量的数量积公式. 3.理解向量的投影、向量的数量积的几何意义. 4.掌握向量数量积的性质. 5.通过向量数量积的学习,培养学生的数学运算、逻辑推理等素 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 向量的线性运算 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 情境导入 思考：八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？ “哼”老猪我偏要向右！ 我老沙喜欢天天向上 F2 . F1 . θ 问题：你能把所做的功表示出来吗？ ，其中θ是向量,的夹角，功是标量. PART.02 向量的数量积 概念讲解 我们一起来看一下物理中功的概念： 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功是多少？ 其中是与的夹角 θ 功是一个标量，它是由力和位移两个向量来确定 或者说功是由力的大小、位移的大小和两个向量的夹角所确定 思考：能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？ 数学上，我们把“功”称为向量与向量的“数量积”， “数量积”即是两个向量相乘的结果. 概念讲解 向量的夹角： 已知两个非零向量，，如图，是平面上的任意一点， 作 ， ,则叫做向量与的夹角. 定义 θ 注意 1.向量的夹角是两向量共起点时所夹的角； 2.向量与的夹角可表示为< >； 3.向量夹角范围是,两直线夹角是； 概念讲解 特殊情况 与同向 与垂直，记作 与反向 向量的夹角的特殊情况 概念辨析 1.说出下列两个向量与的夹角的大小是多少？ 0° 140° 90° 60° 180° 120° 概念辨析 2.已知||＝||＝2，且与的夹角为60°，则＋与的夹角是多少？－与的夹角又是多少？ 60° 30° . . ，. 找夹角，先确定是否共起点。 概念讲解 向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为 我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作 即 定义 规定 零向量与任一向量的数量积为0，即。 1. 在书写数量积时， 与之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能省略； 注意 2.向量的数量积运算结果是一个数量，而不是向量。其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定. 概念讲解 设两个非零向量之间的夹角为: ①当°时，， ； ②当为锐角时，， ； ③当为直角时，， ； ④当为钝角时，， ； ⑤当°时，， 向量的数量积的特殊情况 例题剖析 例1.已知，，与的夹角，求. 解： 例题剖析 例2.设，，求与的夹角 解：由，得 因为，所以 归纳总结 概念讲解 PART.03 投影向量 概念讲解 探究1：在计算所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？ 思考1：，其中，你会联想到什么？ O θ M1 O θ M1 概念讲解 投影与投影向量： 设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 定义 概念讲解 我们可以在平面内任取一点，作 ， . 过点M作直线ON的垂线，垂足为，则 叫做向量在向量上的投影向量 思考2：如何做出向量的投影向量 概念讲解 探究2：如图，设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为， 那么与, ,之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 下面我们探究与的关系，进而给出的明确表达式 我们分为锐角、直角、钝角、以及等情况进行讨论 当为锐角时， 与方向相同， 所以 N M 概念讲解 当为直角时， ， 所以 当为钝角时， 与方向相反， 所以 N M 当时，，所以 当时，，所以 对于任意的。 N M O M1 O θ 概念讲解 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质． 数量积的性质： 设是非零向量，它们的夹角是， 是与方向相同的单位向量，则 当同向时， ; 当反向时， ; 特别地， 或 (由推得) 例题剖析 例题剖析 归纳小结 例题剖析 练习：在△ABC中，设，若已知，试判断该三角形的形状。 解：因为, 而, 所以,从而，△ABC为