江苏省洪泽中学等七校2023-2024学年高二下学期第一次联考数学试卷

2023—2024学年第二学期高二年级第一次联考 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有 A 12 B. 64 C. 81 D. 7 2. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（ ） A. 120种 B. 60种 C. 40种 D. 20种 4. 平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年3月，某校A，B，C，D，E，F六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A站在两端，B、C相邻，B、D不相邻的排法种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 56 D. 72 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B. 若非零向量，，满足，，则有； C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量，则l； D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 10. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（　　） A. 从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B. 从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C. 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D. 要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 11. 在正方体中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，与所成夹角可能 B. 当时，的最小值为 C. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 D. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，写出直线的一个方向向量___________. 13. 如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有___________种． 14. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）解不等式：. 16. 已知空间三点、、. （1）若向量与平行，且，求坐标． （2）若向量分别与、垂直，且，求的坐标． （3）求以、为邻边的平行四边形的面积． 17. 有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. （1）可以排成多少个三位数？ （2）求满足下列条件五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 18. 如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点. （1）证明：； （2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为. 19. n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量； （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m