24.2 直角三角形的性质-【优鸿】九年级上册数学同步提分练(华东师大版)

初中数学·九年级上册 难度1 第24章 解直⻆三⻆形 直角三角形的性质（一） 1. 直角三角形斜边上的高与中线分别是 和 ，则它的面积为      . 2. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 3. 如图， 是 的高， ， ， 分别是 ， ， 边的中点， ，求 ． 参考答案 1 2 把⽂字语⾔转化为数学语⾔：如图，在 中， 边上的中线 ，求证： 是直⻆三⻆形. ∵在 中， 边上的中线 ， ∴ . ∴ 、 都是等腰三⻆形. ∴ ， . ∵在 中， ， ∴结合图形可得： . ∴ ， ， 即 . ∴ 是直⻆三⻆形. 3 初中数学·九年级上册 难度2 第24章 解直⻆三⻆形 直角三角形的性质（一） 1. 如图， 中， 于 ， 是 的中点．若 ， ，则 的长等于         ． 2. 如图，在 中， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 度后，得到 ，点 刚好落在 边上． (1)求 的值； (2)若 是 的中点，判断四边形 的形状. 3. 如图，在 中， ， 是中线， 是 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)如果 ，试判断四边形 的形状. 4. 如图，已知 ， ， ， 分别为 ， 的中点，点 在 的延长 线上， . (1)求证： ； (2)若 ， ，求四边形 的周长. 5. 如图，在 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ．设 交 的平分线于点 ，交 的一个外角 的平分线于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长； (3)当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形? 参考答案 1 2 （1） （2）菱形 3 （1）∵ ， ∴ . ∵ 是 的中点， ∴ . 由图形知， 和
为对顶⻆， ∴ . ∵在
和
中， ∴
≌
. ∴ . ∵在
中， ，
∴
为直⻆三⻆形. ∵ 是中线， ∴ . ⼜∵ ， ∴ . （2）正⽅形 4 （1）∵ 为 的中点， ∴ . ∵ ， 分别为 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ . 由图可得 ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ . ∵在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ . （2） 5 （1）由题意可知： 平分 ， 平分 ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， . ∴ ， . ∴在 中， ； 在 中， . ∴ . （2） （3） 的中点 初中数学·九年级上册 难度3 第24章 解直⻆三⻆形 直角三角形的性质（一） 1. 如图，以 的对角线 为斜边作 ，且 为直角.求证：四边形 是矩形. 2. 如图，点 分别是正方形 的边 和 的中点， 和 交于点 ．求证： ． 3. 如图，在 中， 是 边上的中线，点 是 的中点，过 点作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论； (3)在 的条件下，若 ， ，且 于 ，求 的长. 、 参考答案 1 证明：连接 ，如图所⽰： ∵四边形 是平⾏四边形， ∴ ， . ∴点 是 、 的中点. ∵ 是直⻆， ∴ 是直⻆三⻆形. ∴在 中， ， 在 中， . ∴ . ⼜∵四边形 是平⾏四边形， ∴四边形 是矩形. 2 ∵四边形 是正⽅形， ∴ ， . ∵点 分别是正⽅形 的边 和 的中点， ∴ ， ， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . 由图可知， . ∴ . ∵由图可知， 是 的⼀个外⻆， ∴ 、 . 延⻓ 与 的延⻓线交于⼀点 ，如图： ∵四边形 是正⽅形， ∴ ，即 . ∴ ， . ∵点 是 的中点， ∴ . ∵在 与 中， ∴ ≌ . ∴ . ⼜∵ ， ∴ ， ∴点 是 的中点， 是 中 边上的中线. ∵ ， ∴ 是直⻆三⻆形， 是斜边. ∵ 是 中斜边 边上的中线， ∴ . 3 （1）证明： ∵点 是 的中点， ∴ . 由图可知， 和 是对顶⻆， ∴ . ∵ ， ∴ . 在 和 中， ∴ ≌ . ∴ . ∵ 是 边上的中线， ∴ 是 的中点. ∴ . ∴ . （2）四边形 是菱形，证明如下： ∵ ， ， ∴四边形 是平⾏四边形. ∵ ， ∴ 是直⻆三⻆形. ∵ 是 边上的中线， ∴ . ∴四边形 是菱形. （3） 初中数学·九年级上册 难度1 第24章 解直⻆三⻆形 直角三角形的性质（二） 1. 如图所示，已知 中， ， 是高 和 的交点， ，则线段 的长度为（      ）． A. B. C. D. 2. 如图，在 中， ， 平分 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长是         ． 3. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若 ，则阴影部分的面积是         . 4. 如图，为了响应建设社会主义新农村的号召，在小山顶 处建成了卫星接收发射塔 . 现在 处测