押题03 第18题 导数及其应用（七大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）

押题03 第18题 导数及其应用（七大题型） 1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 2．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 押题03 导数及其应用 高考模拟题型分布表 题型序号 题型内容 题号 题型1 恒成立有解问题 1-6 题型2 证明不等式 7-11 题型3 零点、方程的根及其应用 11-18 题型4 最值问题 19-21 题型5 求参数的取值范围 22-23 题型6 导数与数列 24-25 题型7 导数与统计概率 26 题型1：恒成立有解问题 1．（2024·河北沧州·一模）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，. (1)求证：当，； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是自然对数的底数，. (1)当时，求函数的零点个数； (2)当时，证明：； (3)证明：若，则. 4．（2024·山西运城·一模）已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)若对于任意恒成立，求a的取值范围； (2)若函数的零点按照从大到小的顺序构成数列，，证明：； (3)对于任意正实数，证明：． 6．（2024·山东临沂·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，且，使得，求证：. 题型2：证明不等式 7．（2024·四川德阳·模拟预测）（）. (1)当时，证明：； (2)证明：. 8．（2024·广西南宁·一模）已知函数． (1)若，求的值； (2)当时，证明：． 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数和函数有相同的最大值. (1)求a的值； (2)设集合，（b为常数）.证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素. 10．（2024·全国·模拟预测）已知函数有三个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中． (1)判断函数的单调性； (2)若，且当时，，证明：． 题型3：零点、方程的根及其应用 12．（2024·江西·模拟预测）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数. 13．（2024·山西·模拟预测）已知函数，且与轴相切于坐标原点． (1)求实数的值及的最大值； (2)证明：当时，； (3)判断关于的方程实数根的个数，并证明． 14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围； (3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明． 15．（2024·河南南阳·一模）已知，不等式恒成立. (1)求的值; (2)若方程有且仅有一个实数解，求ab的值. 16．（2024·云南曲靖·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值． 17．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 18．（2024·江苏·模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)函数，求的最小值； (2)若为函数的两个零点，证明：． 题型4：最值问题 19．（23-24高二上·湖北·期末）设函数，， (1)若函数有两个零点，求b的取值范围； (2)若函数没有极值点，求的最大值． 20．（2024·四川南充·二模）设函数，． (1)求函数的单调性区间； (2)设，证明函数在区间上存在最小值A，且． 21．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值10，讨论的单调性； (2)若存在实数，使得方程的三个实数根满足，求的最小值． 题型5：求参数范围问题 22．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数和． (1)讨论与的单调性； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 23．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数（），为的导函数，. (1)若，求在上的最大值； (2)设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围. 题型6：导数与数列 24．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 2