青海湟川中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷

青海湟川中学2023-2024学年第二学期 高三年级数学（理）第一次模拟考试试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 325 B. 355 C. 365 D. 375 4. 某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 已知双曲线C：的一条渐近线的方程为，若C的焦距为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 6. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框中应填（ ） A B. C. D. 9. 在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图象的一个最高点的坐标为，距离C点最近的一个零点为，设B点在y轴左侧且为图象上距离y轴最近的一个对称中心，O为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的“积值”．设函数图象上存在不同的三点A，B，C，其横坐标从左到右依次为，，，且其纵坐标均相等，则A，B，C三点“积值”之和的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知过抛物线C：焦点F的直线l与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为______． 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 15. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则的取值范围为______． 16. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为______． ①点C到平面的距离等于； ②与平面所成角的正弦值为； ③堑堵外接球的表面积为； ④堑堵没有内切球． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：； （2）若，当C取最大值时，求的面积． 18. 某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12月份的订单量数据． 月份 6 7 8 9 10 11 12 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 订单量y（万件） 4.7 5.3 5.6 5.9 6.1 6.4 6.6 （1）试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强；，则认为y与t的线性相关性较弱）； （2）建立y关于t线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量； （3）为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望． 附参考公式：，，． 参考数据：，，． 19. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． （1）当平面DAF时，求线段的长度； （2）设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 20. 平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点，且与直线相