陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一模拟考试理科数学试卷

2024年长安区高三年级第一次模拟考试 数学（理科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等于（ ） A. B. C. D. 1 4. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ） A. 57种 B. 58种 C. 59种 D. 60种 5. 在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ） A. 一个离心率为的椭圆上 B. 一个离心率为2的双曲线上 C. 一个离心率为的椭圆上 D. 一个离心率为的双曲线上 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. 60 B. 61 C. 75 D. 76 9. 设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若存在实数满足，则错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，关于有下面说法①函数的最小正周期为.②函数在单调递减.③函数的图像关于轴对称.④函数的最小值是则正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（ ） ①在中点时，平面平面 ②异面直线所成角的余弦值为 ③在同一个球面上 ④，则点轨迹长度为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若满足约束条件，则目标函数的最小值为________. 14. 已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为________. 15. 某网店统计了商品最近40天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且，则商品这40天的总销量为________. 16. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为________. 三、解答题：本题共6小题，共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 某公司有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为、、，员工隶属于甲部门.在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立. （1）现采用分层抽样的方法从中抽取人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率； （2）将甲部门的名员工随机平均分成组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验.记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为1正三角形，分别为的中点，平面与底面的交线为． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，且满足.若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 20. 已知椭圆短轴长等于焦距，且过点 （1）求椭圆的方程； （2）为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率. 21. 已知函数. （1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值并求函数的极值；