2024年上海市高三数学竞赛试题

2024 年上海市高三数学竞赛试题 2024 年 3 月 24 日上午 9:30～11:30 一、填空题（第 1～4 题每小题 7 分，第 5～8 题每小题 8 分，共 60 分） 1. 若正实数 a, b 满足 ab = 2a+ b，则 a+ 2b 的最小值是 ． 2. 现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为 1 3 ，乙胜的概率为 2 3 ，规定谁先胜 3 局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 ．（用最简分数表示答案） 3. 计算( C02024 − C22024 + C42024 − C62024 + · · ·+ C20242024 )2 + ( C12024 − C32024 + C52024 − C72024 + · · ·+ C20232024 )2 = ． 4. 已知 #»a , #»b , #»c 是同一平面上的 3 个向量，满足 | #»a | = 3, | #»b | = 2 √ 2, #»a · #»b = −6，且向量 #»c − #»a 与 #»c − #»b 的夹角为 π 4 ，则 | #»c | 的最大值为 ． 5. 若关于 z 的方程 zn+1 − √ 2zn − 1 = 0 存在一个模为 1 的虚根，则正整数 n 的最小值为 ． 6. 一个顶点为 P、底面中心为 O 的圆锥体积为 1，若正四棱锥 O −ABCD 内接于该圆锥，平面 ABCD 与该圆锥底面平行，A,B,C,D 这 4 个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥 O −ABCD 的体积 的最大值是 ． 7. 已知函数 f(x) = ax2 + lnx 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 8. 若 3 个整数 a, b, c 满足 a2 + b2 + c2 + 3 < ab+ 3b+ 3c，则这样的有序整数组 (a, b, c) 共有 组． 二、解答题（每小题 15 分，共 60 分） 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 Γ : x 2 4 + y2 = 1，A、B 是椭圆的左、右顶点．点 C 是椭圆 Γ 内（包括边界）的一个动点，若动点 P 使得 # » PB · # »PC = 0，求 |OP | 的最大值． 10. 求所有正整数 n（n ≥ 3），满足正 n 边形能内接于平面直角坐标系 xOy 中椭圆 x 2 a2 + y2 b2 = 1 （a > b > 0）． 11. 数列 {an} 满足：a1 = a2 = 1，an+2 = an+1 + an（n = 1, 2, · · ·），M 是大于 1 的正整数，试证明： 在数列 a3, a4, a5, · · · 中存在相邻的两项，它们除以 M 余数相同． 12. 将正整数 1, 2, · · · , 100 填入 10× 10 方格表中，每个小方格恰好填 1 个数，要求每行从左到右 10 个数依次递减，记第 i 行的 10 个数之和为 Si（i = 1, 2, · · · , 10）．设 n ∈ {1, 2, · · · , 10} 满足：存在一种 填法，使得 S1, S2, · · · , S10 均大于第 n 列上的 10 个数之和，求 n 的最小值． 1 2024 年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上． 一、填空题（本大题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分） 1. 9 . 2. 17 81 . 3. 20242 . 4. 58 . 5. 5 . 6. 8 27 . 7. 1 , 0 2e        . 8. 14. 二、解答题（本大题满分 60 分，每小题 15 分） 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆： 2 2 1 4 x y  ，A B、 是椭圆的左、 右顶点．点C 是椭圆内（包括边界）的一个动点，若动点 P 使得 0PB PC    ， 求 OP 的最大值． 解：设动点    0 0, , ,C x y P x y ．因为 0PB PC    ，所以 PB PC ．设 BC 的 中点为M ． 因为点    0 02, 0 , ,B C x y ，所以点 0 02 ,2 2 x yM        ，于是  2 20 02BC x y   ，   2 2 2 20 0 0 0 22 2 2 2