第九章第二节二项式定理-2024年高三数学大一轮复习讲义

2024届高三第一轮复习教学案（数学组） 主备人:王平 审核:数学组 累计 课时 第2节　 二项式定理 第3节　 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 考向预测 1、 二项式中的特定项及系数问题； 2、 二项式系数的性质与各项系数的和； 3、 多项式展开式中特定项（系数）问题。 核心素养 数学运算、数学建模 重点难点 重点：能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 难点：会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 知识梳理 1.二项式定理 （1）二项式定理：（a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*）； （2）通项公式：Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，…，. 提醒　（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.二项式系数的性质 考点突破 考点一 二项式中的特定项及系数问题 [ 【例1】　（1）（2020·全国Ⅲ卷）的展开式中常数项是　　　　（用数字作答）.  解析　（1）展开式的通项Tr＋1＝（x2）6－r·＝2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为24＝240. 答案　（1）240 ｜解题技法｜ 求二项展开式中特定项的步骤 1.（2021·天津高考）在的展开式中，x6的系数是　　　　.  解析：的第r＋1项为Tr＋1＝（2x3）6－r＝26－rx3（6－r）·x－r＝26－rx18－4r，令x18－4r＝x6得r＝3，∴T4＝×23×x6＝160x6，∴x6的系数是160. 答案：160 考点二 二项式系数的性质与各项系数的和 考向1　二项展开式中的系数和问题 【例2】　（多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则 （　　） A.二项式系数和为64 B.各项系数和为64 C.常数项为－135 D.常数项为135 解析　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；展开式的通项为Tk＋1＝·（3x）6－k·＝·（－1）k36－k·，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝×（－1）4×32＝135.故D正确. 答案　ABD ｜解题技法｜ 赋值法的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 考向2　二项式系数的最值问题 【例3】　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为 （　　） A.－126 B.－70 C.－56 D.－28 解析　∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3＝－56. 答案　C ｜解题技法｜ 1.求二项式系数最大项 （1）如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大； （2）如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 考点三 多项式展开式中特定项（系数）问题 考向1　几个多项式和展开式中特定项（系数）问题 【例4】　在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是 （　　） A.25 B.30 C.35 D.40 解析　法一：（1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝xr，当n依次取3，4，5，6，r取3得到含x3的系数为＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝35. 法二：多项式可化为＝，二项式