高中物理强基计划特训-第6部分-机械振动与机械波

高中物理强基计划-第6部分-机械振动与机械波 在高中物理课程中，我们认识了机械振动和机械波，了解了描述机械振动和机械波的物理量及图 象，并学习了波特有的衍射、干涉现象及原理。在这个模块中，我们将深入讲解一些拓展知识，例如 简谐振动的判定方法，参考圆的应用，波函数及多普勒效应等。 1、简谐振动的判定 如果质点的位移与时间的关系遵从正(余)弦函数的规律，即它的振动图象 (x～t 图象)是一条 正(余)弦曲线，这样的振动叫做简谐振动。但是通过这种定义来判断物体的运动是否是简谐振动显 然是比较麻烦的。那么如何判断物体的运动是否是简谐振动呢?下面我们介绍两种常用的判断方法(由 于证明过程需要用到微分方程的知识，因此，我们只介绍结论)。 1. 通过受力判断 如果物体所受的合外力F 总是与它离开平衡位置的位移x 大小成正比，并且总指向平衡位置(即与 位移方向相反),即F=-kx, 则物体的振动为简谐振动。 有些情况下，物体的运动并非严格是简谐振动，但在小量近似(略去高 阶小量)的情况下，可以近似认为是简谐振动。 2. 通过能量判断 弹簧振子在做简谐振动的过程中，系统能量守恒，在任意位置(位移为x 处),总能量可以写成 数，其中，速度v 可以写成位移随时间的变化率，我们用符号 表示(速度实际是位移对时间的导数),则数。同理，对任意简谐振动我 们可以得到类似的结论： 在运动过程中，系统能量可以写成形如 数的形式，则系统的运动为简谐振 动。其中x 应理解为广义位移(既可以是位移，也可以是角度等), m 、k 均为比例系数，并非一 定代表质量和劲度系数。 在复杂体系中，能量分析可能比受力分析简单，但能量判据只适用于某一能量守恒的系统。 166 学科网（北京）股份有限公司 **************************************************************************************** 例题说明：下面几道题目练习通过受力条件判断简谐振动 **************************************************************************************** 【例1】如图所示，竖直悬挂的轻质弹簧的劲度系数为k, 下端挂一质量为m 的小球，小球静止时弹簧 的伸长量为xo。 现将小球从静止位置向下拉一小段距离x 后放手，试证明小球的运动是简谐运 动。 【解析】小球静止时的位置O 为平衡位置，此位置有： mg=kx₀。 小球在竖直方向上振动时，回复力由重力和弹簧的弹力一起提供。 设小球向下偏离平衡位置的位移为x, 则小球所受合力为： F=k(x₀+x)-mg, 方向竖直向上，指向平衡位置。 由以上两式得，回复力F=-kx, 负号表示力与位移的方向相反。 同理可证明，小球向上偏离平衡位置时，也有F=-kx。 因此，小球的运动是简谐运动。 【答案】见解析 【例2】牛顿曾证明： 一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力不为 零，且其作用效果相当于球壳的质量都集中到球心那样。假设有一沿着地轴、穿过地球的通道， 在地球表面把一小球从洞口由静止释放，如图所示。忽略摩擦、阻力等影响，假设地球是半径 为R、 质量为M 一个均匀球体，不考虑地球自转。试证明小球做简谐振动。 【解析】小球m 到达离地心距离为x 处时，所受万有引力为 其中 ,联立可得 ,指向地心 故小球做简谐振动。 【答案】见解析 **************************************************************************************** 补充：拓展一下此题，即使通道不穿过地心，小球同样做简谐振动 **************************************************************************************** 167 学科网（北京）股份有限公司 【例3】如图所示，质量为m 的匀质细棒置于两只相同的水平转动的圆柱上，两圆柱转动的速率相等， 但方向相反。设圆柱与棒的摩擦因数为μ。开始时，棒的重心在右边圆柱上，两圆柱中心相距 为a, 试证明棒的运动为简谐振动。 【解析】建立水平坐标轴Ox, 向右为正，取两圆柱之间的中点为原点。某时刻，棒重心的坐标为x, 如图所示。设棒此时受左右圆柱的弹力为N、N₂ 。 根据平衡条件： N₁+N₂=mg, 棒在水平方向上所受的合力F=μN₁- μN₂ 联立解得： 因此，棒的运动为简谐振动。 【答案】见解析 【例4】三根长度均为1、质量均匀的直杆，构成一正三角形框