第十八章 专题课堂(八) 平行四边形中的最值问题-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(人教版)

专题课堂(八)　平行四边形中的最值问题 数学 八下 人教版 原创新课堂 B B 【例】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为( ) A．1 B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(3) ＋1 分析：作P点关于BD的对称点P′，过P′作P′Q⊥CD交于Q，交BD于点K，连接KP，当P′，K，Q三点共线时，PK＋QK的值最小，最小值为CD边上的高． 【对应训练】 1．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P，E分别在AC，AD上，则PE＋PD的最小值是( ) A．2 B．2 eq \r(3) C．4 D． eq \f(8\r(3),3) 2．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF最小值为_____________． eq \r(10) 3．如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD＋PE的最小值为_______________. 2 eq \r(10) 4．如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO. (1)求证：四边形OEMF为矩形； (2)连接EF，求EF的最小值． 解：(1)∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO＝∠MFO＝90°，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴∠EOF＝90°，∴四边形OEMF为矩形　 (2)连接OM，∵四边形OEMF为矩形，∴EF＝OM，当OM⊥AB时，OM有最小值，即EF有最小值．∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝ eq \f(1,2) AC，BO＝ eq \f(1,2) BD，AC＝BD，∴AO＝BO，当OM⊥AB时，点M为AB的中点，在Rt△AOB中，OM＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×8＝4，即EF的最小值为4 5．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，求线段AB的最小值． 解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCA＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△COA和△DOB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OCA＝∠ODB，,OC＝OD，,∠COA＝∠DOB，)) ∴△COA≌△DOB(ASA)，∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理，得AB＝ eq \r(OA2＋OB2) ＝ eq \r(2) OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可．根据垂线段最短，得OA⊥CD时，OA最小，∵OC＝OD，OA⊥CD，∴CA＝DA，∴OA＝ eq \f(1,2) CD＝1，∴AB＝ eq \r(2) ，∴线段AB的最小值为 eq \r(2) $$