北京市第五十五中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

2022北京五十五中高二（上）期中 数 学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 3. 斜率为，在轴上截距为的直线方程的一般式为 A. B. C. D. 4. 若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组事件中，不是互斥事件的是 A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B. 统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 C. 播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒 D. 检查某种产品，合格率高于与合格率为 6. 在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 7. 在如图所示电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ） A. B. C. D. 8. “直线与互相垂直”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上） 11. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量/mm [ 100 150 ) [ 150, 200 ) [ 200, 250 ) [ 250, 300 ] 概率 0.21 0.16 0.13 0. 12 则年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率是___________ 12. 已知空间向量，则__________． 13. 设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是__________． 14. 两平行直线：与：之间的距离是_____． 15. 如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论： ①存在点，使得； ②的面积越来越大； ③四面体的体积不变． 所有正确的结论的序号是__________． 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和． （1）求边所在直线的方程和点到直线的距离； （2）求线段垂直平分线所在的直线方程； （3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程． 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表： 投资股市的盈亏情况表 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金的盈亏情况表 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q （1）当时，求q的值； （2）已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损概率； （3）已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围． 20. 如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动