圆锥曲线定点 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线定点问题讲义 1.对直线过定点的理解 如：①直线恒过定点； ②对于直线，若，则直线方程为，显然过定点； ③无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____． 【解析】直线可化为， 令，故定点坐标为． 2定点问题的常见类型 （1）由斜率关系求定点 （2）由倾斜角关系求定点 （3）圆过定点 （4）相交弦过定点 （5）切点弦过定点 例题讲解 例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且. (1)求的方程. (2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 例2．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． (2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 例3．已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为， (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的右支上异于点的动点，直线与直线相交于点，直线与双曲线的另一个交点为，直线垂直于点，问是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由， 例4．已知分别是椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左右顶点，且 (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上的一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，试问是否存在，便得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 例5．已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标. 例6．如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，动点为抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交于点. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记的面积为，求的值. （1） 例7．在平面直角坐标系中，分别过点,的直线,的斜率之积为. (1)求与的交点的轨迹方程； (2)已知直线与直线交于点，线段的中点为，若点的坐标为，证明：点关于直线的对称点在上. 例8．已知椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例9．已知椭圆与双曲线的离心率的平方和为. (1)求的值； (2)过点的直线与椭圆和双曲线分别交于点，，，，在轴上是否存在一点，直线，，，的斜率分别为，，，，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例10．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线定点问题讲义 1.对直线过定点的理解 如：①直线恒过定点； ②对于直线，若，则直线方程为，显然过定点； ③无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____． 【解析】直线可化为， 令，故定点坐标为． 2定点问题的常见类型 （1）由斜率关系求定点 （2）由倾斜角关系求定点 （3）圆过定点 （4）相交弦过定点 （5）切点弦过定点 例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且. (1)求的方程. (2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 解析 1），， 整理可得：，， ，，解得：，， 椭圆的方程为：. （2） 由（1）可得：，则直线的斜率存在，可设，， 由得：， ，，， 直线过点，， 直线方程为：，令得：，即； 同理可得：； ， 线段的中点为定点. 例2．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． (2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． （1） （ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立， 解得或，即双曲线的两顶点为， 故实轴长为； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 曲线的方程为； （2