4.2正比例和反比例（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（人教版）

4.2正比例和反比例 知识点1：正比例和反比例的意义 1、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 知识点2：正比例 1、正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 2、举例如下： （1）正方形的周长与边长 （比值：4）。 （2）同圆的周长与直径 （比值：π）。 （3）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。 （4）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。 解：aX＝Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。 （5）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？ 解：因为圆的周长除以圆的半径＝2π，所以圆的周长和半径成正比例。 （6）易错题：圆的面积（S）：半径（R）＝πR 解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R＝πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。 （7）易错题：圆的面积（S）：π＝R•R（一定） 解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。 （8）易错题：正方形的面积与边长中，S：A＝A 解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。 但如果圆的面积（S）：（R•R） （R的平方）＝π，这可看成一个正比例，它是S与（R•R）成正比例。 ↑一种量 （9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。 具体证明既可以用公式推导，2（a+b）＝C，a+b＝C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。 知识点3：反比例 1、反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、反比例例子： 1、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例； 2、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例； 3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数； 4、总价一定，它的单价和数量是反比例； 5、长方形的面积一定，长和宽是反比例； 6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例； 7、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8、总价一定，单价与数量成反比例； 9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。 考点1：正比例和反比例的意义 【示例】y﹣x＝0，y与x（　　） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定 【分析】根据等式的性质，在y﹣x＝0的左右两边同时加上x，可变成y＝x，再根据等式的性质，在等式y＝x的左右两边同时除以x，可化成（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以y与x成正比例． 【解答】解：y﹣x＝0，可知y＝x，那么 （一定）， 是比值一定，符合正比例的意义，所以y与x成正比例． 故选：A． 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断． 考点2：正比例 【示例1】小明从家到学校已走的路与剩下的路程成正比例。 【答案】× 【示例2】工作效率一定，工作时间和工作总量成正比例。 【答案】√ 【示例3】同一时间、同一地点，旗杆的高和它的影长成正比例。 【答案】√ 考点3：反比例 【示例】判断下列各题中的两种量是不是成反比例。（成反比例的画“√”） ①圆柱的体积一定，它的底面积与高。 ②苹果的单价一定，购买苹果的数量与总价。 ③铺地面积一定，每块砖的面积与需要的块数。 ④王明的年龄和他的身高。 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×。 一．选择